3.5 多维随机变量函数的分布（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版）

概率论 与 数理统计 1 “悟道诗---严加安” 随机非随意，概率破玄机； 无序隐有序，统计解迷离． 2 第三章 多维随机变量及其分布 第五节 多维随机变量函数的分布 二、多维连续随机变量函数的分布 一、多维离散随机变量函数的分布 三、小结 一、多维离散随机变量函数的分布 设(X,Y)是二维离散随机变量，其联合分布律为 定理1： 则 Z=g(X,Y) 也是离散随机变量，且Z的分布律为 其中 g(x,y) 是二元初等函数. 注：以上定理的结论可以推广至多维随机变量的情形，同学们可尝试给出相应的形式． 设X和Y是两个相互独立的、取值为非负整数值的离散随机变量，其中X的概率分布律为 由题意，Z=X+Y 也是取值非负的离散随机变量，利用独立性可得 例1： Y的概率分布律为 求 Z=X+Y 的概率分布律. 解： 设有二项随机变量 ，且X与Y 相互独立，则 称此公式为“离散卷积公式”. 其中 n=0, 1, 2, ... 即 练习： 二项随机变量的“再生性”---由相互独立的二项随机变量求和可得新的二项随机变量. 若Z1, Z2, … , Zm 是相互独立的0-1随机变量，即 Zi ~B(1, p)，i=1, 2, …, n，则有 注： 若Xi ~B(ni, p)，i=1, 2, …, m，且 X1, X2, … , Xm 相互独立，则有 特别地， 二、多维连续随机变量函数的分布 设(X,Y)是二维连续随机变量，其联合概率密 定理2： 分布函数为 其中 g(x,y) 是二元初等函数. 注：当Z=g(X,Y)为连续随机变量时，Z 的密度函数为 度函数为 f(x,y)，则 Z=g(X,Y) 也是随机变量，且 Z 的 利用分布函数法，可以计算两个连续随机变量之和、差、积、商的密度函数． 设(X,Y)是二维连续随机变量，其联合概率密 定理3： 度函数为 f(x,y)，则 Z=X+Y 的概率密度函数fZ (z)为 U=X-Y 的概率密度函数fU (u)为 V=XY 的概率密度函数fV (v)为 当X与Y相互独立时，其联合概率密度函数为f(x,y) = fX (x) fY (y). 此时，Z=X+Y的密度函数为 W=X/Y 的概率密度函数fW (w)为 称此公式为“连续卷积公式”，记为 注： 由题意， X与Y的概率密度函数分别为 例2： 证明： 设 且X与Y相互独立，证明： 令Z=X+Y，则当X与Y相互独立时，由卷积公式得 经计算，上式中被积函数的指数部分可化为 其中， 则有， 再令u=Ax-B，并利用 ，则上式可化为 即 注：由上例可见，两个相互独立的正态随机变量之和仍为正态随机变量，其参数是有关的参数相加．这说明正态分布也具有“再生性”，此结论可推广至多个正态随机变量的情形． 接下来，不作证明，给出四条在数理统计中经常遇到的n维正态分布的重要性质： 说明： （1）若X1, X2, … , Xn 都是正态随机变量，且相互独立，则(X1, X2, … , Xn )是n维正态随机变量；反之，n维正态随机变量(X1, X2, … , Xn ) 的每一个分量Xi (i=1, 2, …, n) 都是正态随机变量. （2） n维随机变量(X1, X2, … , Xn )服从n维正态分布的充要条件是X1, X2, … , Xn 的任意线性组合 服从一维正态分布. 接下来，不作证明，给出四条在数理统计中经常遇到的n维正态分布的重要性质： 说明： （3）若 (X1, X2, … , Xn ) 服从n维正态分布，设 Y1, Y2, … , Ym 都是 Xi (i=1, 2, …, n)的线性组合，则 (Y1, Y2, … , Ym ) 服从m维正态分布（正态分布的线性变换不变性）. （4） 设 (X1, X2, … , Xn ) 服从n维正态分布，则“X1, X2, … , Xn相互独立”与“X1, X2, … , Xn两两不相关”是等价的. 在概率统计中，也经常需要求多个随机变量的最大值和最小值的分布． 设X1, X2, … , Xn是相互独立的随机变量，其分 定理4： 则Xmax 与Xmin也是随机变量，它们的分布函数分别为 布函数分别为