3.4 条件分布（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版）

概率论 与 数理统计 1 “悟道诗---严加安” 随机非随意，概率破玄机； 无序隐有序，统计解迷离． 2 第三章 多维随机变量及其分布 第四节 条件分布 二、连续随机变量的条件分布 一、离散随机变量的条件分布 三、小结 一、离散随机变量的条件分布 设二维离散随机变量（X,Y）的联合分布律为 定义1： 关于X和Y的边缘分布律分别为 对固定的j，若 则称 为随机变量X在Y=yj下的条件分布律，记为 同样， 对固定的i，若 则称 为随机变量Y在X=xi下的条件分布律，记为 一纸箱里装有3只红球和4只黑球，现从中随机抽取小球两次，采取不放回方式，每次取出一只．以X记第一次取出的红球数，以Y记第二次取出的红球数，求随机变量Y在X=1条件下的条件分布律． 不放回时 (X,Y) 的联合分布律和边缘分布律为 例1： 解： 由前表可知 则根据条件分布律的概念，有 因此，随机变量Y在X=1条件下的条件分布律为 二、连续随机变量的条件分布 对于二维连续随机变量（X,Y），事件（X=x）和（X=y）的概率均为0，所以无法直接利用条件概率公式给出相应的条件分布．为此，从一个随机变量落在某一点的邻域内作为条件出发，研究另一个随机变量的条件概率．由事件的条件概率公式，可得 若（X,Y）的联合概率密度函数为 f (x, y) ，关于Y的边缘概率密度函数为 fY (y) ，则前面的条件概率可改写为 在上式中，令 ，并利用积分中值定理，得 记 称之为X在Y=y 下的条件分布函数． 对 关于x求导，可得 X在Y=y条件下的条件概率密度函数为 可得Y在给定X=x条件下的条件分布函数为 Y 在给定X=x条件下的条件概率密度函数为 类似地， 注：连续随机变量中的“积事件的概率乘法公式” 由题意，(X,Y) 的联合概率密度函数为 例2： 解： 设(X,Y)服从 内的均匀分布，求条件概率密度函数 和 ． 容易得到，(X,Y) 关于X的边缘概率密度函数为 (X,Y) 关于Y的边缘概率密度函数为 所以，条件概率密度函数分别为 设(X,Y)服从二维正态分布 ，求条件概率密度函数 和 ． 由题意，(X,Y) 的联合概率密度函数为 例3： 解： 容易得到，(X,Y) 关于X、Y的边缘概率密度函数为 所以，条件概率密度函数分别为 注：二维正态分布的条件分布是一维正态分布 小结 1. 主要概念：条件分布律，条件概率密度函数； 2. 条件分布 = 联合分布/边缘分布. $$