3.2 边缘分布（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版）

概率论 与 数理统计 1 “悟道诗---严加安” 随机非随意，概率破玄机； 无序隐有序，统计解迷离． 2 第三章 多维随机变量及其分布 第二节 边缘分布 二、二维离散随机变量的边缘分布律 四、小结 一、边缘分布函数 三、二维连续随机变量的边缘概率密度函数 一、边缘分布函数 定义3.2.1 设二维随机变量 的联合分布函数为 ，称随机变量 的分布函数 为 关于 的边缘分布函数，且 称随机变量 的分布函数 为 关于 的边缘分布函数，且 二、二维离散随机变量的边缘分布律 定理3.2.1 如果二维离散随机变量 的联合概率函数（分布律）为 则 关于 的边缘分布函数为 则 关于 的边缘分布函数为 的联合分布律及两个边缘分布律表 例3.2.1 设一抽屉中放有标号为1、2、3、3的四只小球，现从中不放回随机抽出，用随机变量 表示第一次抽出的小球号码，用随机变量 表示第二次抽出的号码，求 的边缘分布． （续例3.1.1） 解 根据例3.1.1的结果， 联合分布律为 由边缘分布的定义，知 取可能值1、2、3时， 所以， 关于 的边缘分布律为 同理， 关于 的边缘分布律为 9 一纸箱中装有3只红球和4只黑球，现从中随机抽取小球两次，分别采取放回和不放回两种方式，每次取出一只．以 记第一次取出的红球数， 以 记第二次取出的红球数，求 的联合分布律和相应的边缘分布律． 例3.2.2 解 （1）放回随机取球情形， 和 的所有可能取值均为0或1，则由事件的条件概率可得 同样计算法可得 因此，可得 的联合分布律和相应的边缘分布律如下： （2）不放回随机取球情形， 和 的所有可能取值均为0或1，则由事件的条件概率可得 因此，可得 联合分布律和相应的边缘分布律 如下： 对比放回与和不放回情形的结论，可以看到，两种情形下的联合分布律区别很大，但是两个边缘分布律是一样的．这说明：虽然联合分布可以唯一确定边缘分布，但是由边缘分布无法确定联合分布． 三、二维连续随机变量的边缘概率密度函数 定义3.2.2 如果二维连续随机变量 的联合概率密度为 ，则 关于 的边缘概率密度为 关于 的边缘概率密度为 例3.2.3 的二维均匀分布， 求 的边缘概率密度函数． 设二维随机变量 服从区域 解 由二维均匀分布定义，知 的联合密度函数为 因为区域 的面积为 故 则 关于 的边缘概率密度为： 当 或 时， ，有 当 时，有 因此 同理， 计算 关于 的边缘概率密度为： 求二维正态随机变量 的边缘概率密度函数． 例3.2.4 解 为了便于处理，令 则 关于 的边缘概率密度为： 上式中的被积函数 恰好是服从正态分布 的随机变量的密度函数， 则 关于 的边缘概率密度为： 同理， 计算出 关于 的边缘概率密度为： 这个例子表明：二维正态分布的两个边缘分布是（一维）正态分布，即由联合分布能够完全确定它的边缘分布；还可以看到，这两个边缘分布中都不包含参数 ，所以当 时，这两个二维正态分布不同，但是它们的边缘分布完全相同，即由边缘分布一般无法完全确定它们的联合分布． 设有 维随机变量 ，其联合分布函数为 ，称随机变量 的分布函数 为 关于 的边缘分布函数，且有 以上关于二维随机变量边缘分布的讨论可推广至 维随机变量． 定义3.2.2 小结 主要概念：边缘分布函数、二维离散随机变量的边缘分布律、二维连续随机变量的边缘概率密度函数. $$