3.1 多维随机变量及分布函数概念（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版）

概率论 与 数理统计 1 “悟道诗---严加安” 随机非随意，概率破玄机； 无序隐有序，统计解迷离． 2 第三章 多维随机变量及其分布 第一节 多维随机变量及其分布 二、二维离散随机变量 四、小结 一、多维随机变量及分布函数的概念 三、二维连续随机变量 也称为二维随机向量． 一、多维随机变量及分布函数的概念 定义3.1.1 设 和 是定义在同一样本空间 上的两个随机变量，称由它们组成的向量 为二维随机变量， 其中称 和 是二维随机变量的分量． 一、多维随机变量及分布函数的概念 定义3.1.2 设 为二维随机变量，对任意的一组实数对 ，称以下的二元函数 为二维随机变量 的联合分布函数，亦简称 为 的分布函数． 性质3.1.1（单调非减性） 对于分布函数 ，如果固定变量 ，则当 时，有 同样，如果固定变量 ，则当 时，有 性质3.1.2（有界性） 对于任意的实数 和 ，有 且有 性质3.1.3（右连续性） 如果固定变量 ，则分布函数 是关于变量 右连续的函数，即 如果固定变量 ，则分布函数 是关于变量 右连续的函数，即 性质3.1.4（矩形区域概率非负性） 对任意的 和 ，其中 ， ，则有 定义3.1.3 设 是定义在同一样本空间 上的 个随机变量，称由它们组成的向量 为 维随机变量， 也称为 维随机向量， 其中称 是 维随机向量的第 个分量． 定义3.1.4 设 是 维随机变量，对任意的实数组 ，称以下的 元函数 为 维随机变量 的联合分布函数，亦简称为 的分布函数． 二、二维离散随机变量 定义3.1.5 若二维随机变量 的取值只有有限多对或可列无穷多对，则称 为二维离散随机变量． 二、二维离散随机变量 定义3.1.6 若二维离散随机变量 所有可能取到的不同值为 ，称 为 的联合概率函数或联合分布律，简称概率函数或分布律． 性质：(1) 非负性： (2) 规范性： 的联合分布律 例3.1.1 设一抽屉中放有标号为1、2、3、3的四只小球，现从中不放回随机抽出，用随机变量 表示第一次抽出的小球号码，用随机变量 表示第二次抽出的号码，求 的联合分布律，并计算 ． 解 的可能取值是1、2、3， 的可能取值是1、2、3，则 的可能取值有9对，易知其中 所以 的 联合分布律为 所以 例3.1.2 设二维随机变量 的联合分布律如下表所示． 求（1） 的值；（2） 的联合分布函数． 解 （1）由联合分布律的规范性，有 则 （2）由 当 或 时， 当 或 时， 当 或 时， 当 或 时， 当 或 时， 所以 的联合分布函数为 三、二维连续随机变量 定义3.1.7 设 是二维随机变量， 是其联合分布函数，若存在非负二元函数 ，使得对于任意的实数 ， ，有 则称 为二维连续随机变量，称 为联合概率密度函数，简称为概率密度． 性质：(1) 非负性： (2) 规范性： 三、二维连续随机变量 (3) 当 在点 处连续时， (4) 对于 面上的区域 ，随机点 落在区域 内的概率为 例3.1.3 设二维随机变量 的密度函数为 求（1）常数 ；（2） ． 解 （1）由密度函数的性质，可知 即 得 （2）记 ，则 下面介绍几种常用的二维连续随机变量． 1. 二维均匀分布 定义3.1.8 设 是平面上的一个有界区域，其面积为 ，若二 维随机变量 的密度函数为 则称随机变量 服从区域 上的二维均匀分布． 设随机变量 服从单