2 随机变量及其概率分布（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（电工版·2020）

概率论与数量统计 随机变量及其概率分布 第二章 01 随机变量与分布函数 随机变量与分布函数 01 随机变量 【例2.1.1】抛一枚硬币3次，以ω表示“正面出现”，以表示“反面出现”，则试验的样本空间为 可以建立Ω中样本点与数值0,1,2,3之间的对应关系如下： 随机变量与分布函数 01 可以看出，上面的对应关系不是一一对应关系，但它确定了Ω中样本点与数值之间的对应关系，因此可以说X为试验结果的“函数”。它的定义域为Ω，同时又有独特之处：在试验以前，并不知道这个“函数”的取值，一旦试验完成，X的取值就确定了。由上可以看到，X是定义在Ω上的单值变量(每个试验结果对应唯一的数值)，同时它取何值要根据试验结果来确定，试验结果有多个，X的取值也有多个，究竟X取何值要凭机遇，因此称X为随机变量(random variable)。一般地，在随机试验中随机变量具有一定的实际意义，如在例2.1.1中，X表示每个样本点中正面出现的次数。 有了随机变量，就可以用随机变量表示事件，如同利用函数表示集合一样。例如，在例2.1.1中，可以将X=0的样本点、X=1的样本点、X=2的样本点分别表示为 随机变量 随机变量与分布函数 01 也可简单地表示为 下面给出随机变量X的定义。 定义2.1 设(Ω, 𝓕 ,P(A))是一个概率空间，X= X(ω)(ω∈Ω)是定义在Ω上的一个单值函数，如果对于任意实数，Ω的子集 即{}是一个随机事件，则称X(ω)是定义在Ω上的一个随机变量。 随机变量 随机变量与分布函数 01 分布函数 定义2.2 设X是一个随机变量，x是任意的实数，称函数 是随机变量X的分布函数( distribution function)。 分布函数具有如下的重要性质。 （1）； （2.8） （2）单调性：若，则； （2.9） （3），； （2.10） （4）右连续性：。 （2.11） 随机变量与分布函数 01 分布函数 定义2.2证明过程 随机变量与分布函数 01 分布函数 定义2.2证明过程 随机变量与分布函数 01 分布函数 定义2.2证明过程 随机变量与分布函数 01 分布函数 【例1】设随机变量X的分布函数为 式中，λ>0为常数，求常数A与B的值。 02 离散型随机变量 离散型随机变量 02 定义与基本概念 定义 2.3 若随机变量X全部可能得到的不相同的值是有限个或可列无限个，则称X是一个离散型随机变量。 定义2.4 设离散型随机变量X的所有可能取值为，且 则称{}为随机变量X的概率分布列，简称分布列。分布列也常用如下表格形式表示： 其中第一行为随机变量X的所有取值，第二行为取相应值的概率。 离散型随机变量 02 定义与基本概念 【例1】已知一批零件共有10件,其中有3件不合格。今任取一件使用，若取到不合格品，则丢弃后重新取一个，试求取到合格品以前取出的不合格品件数X的分布列。 解:由于抽样采用的是不放回方式，因此X的可能取值为0,1,2,3。依乘法定理，可以计算得出 故X的分布列为 离散型随机变量 02 定义与基本概念 根据概率的性质，应满足如下两个条件： 反之，满足以下两个条件的任一实数列{}都可作为某个离散型随机变量的分布型。 离散型随机变量X的分布函数为 它是右连续的、单调不减的阶梯函数，在每个处有跳跃，并且跃度为。 同时，若已知随机变量的分布函数，则可以得到它的分布列 离散型随机变量 02 几种常见的离散型随机变量 1. 0-1分布 设随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布列为 则称X服从0-1分布或两点分布。 两点分布适用于：随机试验的样本空间只包含两个样本点或事件域𝓕={Ω,A,,}，这样就可以用一个服从0-1分布的随机变量来描述这个随机试验的结果。 离散型随机变量 02 几种常见的离散型随机变量 2. 二项分布 设随机变量X的分布列为 由于是二项式定理展开式的一般项，因此称X服从二项分布（binomial distribution)，记为X~。 二项分布适用于：重伯努利试验中“成功”出现的次数，为每次试验“成功”的概率。 离散型随机变量 02 定义与基本概念 【例2】设一大批产品中，一级品率为0.2．现从中随意抽取20件，求其中一级品件数X的概率分布。 解:依题意应为不放回抽样，但由于总的产品数量很大,20件相对于总数来说数量很小，因而可以近似作为有放回抽样处理。将抽取一件产品并判断是否为一级品视为一次伯努利试验，于是一级品数量X~B(20,0.2)，X的分布列是 实际计算得分布表如下: 离散型随机变量 02 定义与基本概念 【例2】设一大批产品中，一级品率为0.2．现从中随意抽取20件，求其中一级品件数X的概率分布。 由二项分布的特点，当k >12时， > 0.0001。 为了直观地表示离散型