3 二维随机向量及其概率分布（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（电工版·2020）

概率论与数量统计 二维随机向量及其概率分布 第三章 01 二维随机向量及其 分布函数 二维随机向量及其分布函数 01 定义3.1 若是定义在同一个样本空间Ω上的随机变量，则称X=()是一个维随机向量。 定义3.2 设x,y是任意实数，称{}与{}同时发生的概率 为二维随机向量(X,Y)的联合分布函数。 二维随机向量及其分布函数 01 二维随机向量的分布函数具有下列性质。 （1）单调性： 关于每个变量是单调不减的函数，即若,，则对任意的，有 （2）有界性：，且对任意，有 （3）右连续性：对每个变量都是右连续的，即 （4）非负性：对任意，有 二维随机向量及其分布函数 01 令分别为X,Y的分布函数，F(x,y)为随机向量(X,Y)的联合分布函数，若已知F(x,y)，则 定义3.3 由式（3.7）与式（3.8）定义的二维随机向量(X,Y)的分量X与Y的分布函数，分别称为二维随机向量(X,Y)关于X与Y的边际分布函数。 02 二维离散型随机向量 二维离散型随机向量 02 定义3.4 设(X,Y)为二维随机向量，若其分量X,Y分别为离散型随机变量，则称(X,Y)为二维离散型随机向量。 定义3.5 设(X,Y)为二维离散型随机向量，X,Y的取值分别为,i,j=1,2,···。称 为离散型随机向量(X,Y)的联合概率分布列，简称分布列。 分布列的性质如下 二维离散型随机向量 02 定义3.6 二维离散型随机向量(X,Y)的分量X与Y的概率分布列{}和{}，分别称为(X,Y)关于X与Y的边际概率分布列。 离散型随机向量的分布列用边际概率分布列表示时，如表3.1所示。 二维离散型随机向量 02 【例1】（二维两点分布）设随机向量(X,Y)的概率分布如表3.2所示，其中，，则称(X,Y)服从两点分布。 二维离散型随机向量 02 【例2】设袋内有2个白球，3个红球，分别按（1）有放回，(2）无放回方式抽取两次，以X记第一次抽到的白球数，以Y记第二次抽到的白球数，分别求(X,Y)的联合分布列与边际分布列。 解:可以确定随机变量X,￥的取值均为0,1两个值，则其联合分布列及关于各分量的边际分布列如表3.3所示。 03 二维连续型随机向量 二维连续型随机向量 03 定义3.7 设(X,Y)为二维随机向量，若存在非负可积函数，使得对任意实数，(X,Y)的分布函数可以表示为 则称(X,Y)为二维连续型随机向量，称为二维连续型随机向量(X,Y)的联合分布密度函数。 联合分布密度函数具有如下性质： 二维连续型随机向量 03 【例1】设二维随机向量(X,y)的分布密度为 试求:（1）常数C;（2）分布函数F(x,y)；（3）边际分布与边际密度；（4）P{0<X+Y<1}。 二维连续型随机向量 03 【例1】设二维随机向量(X,y)的分布密度为 试求:（1）常数C;（2）分布函数F(x,y)；（3）边际分布与边际密度；（4）P{0<X+Y<1}。 二维连续型随机向量 03 【例2】设随机向量(X,Y)在圆域D：+= 内服从均匀分布，则(X,Y)的分布密度为 求(X,Y)关于X与Y的边际分布密度。 二维连续型随机向量 03 【例3】设(X,Y)的分布密度为 求(X,Y)的边际分布密度。构造另一个与此随机向量具有相同边际分布密度的随机向量。 二维连续型随机向量 03 【例3】设(X,Y)的分布密度为 求(X,Y)的边际分布密度。构造另一个与此随机向量具有相同边际分布密度的随机向量。 二维连续型随机向量 03 【例3】设(X,Y)的分布密度为 求(X,Y)的边际分布密度。构造另一个与此随机向量具有相同边际分布密度的随机向量。 二维连续型随机向量 03 二维正态分布密度具有以下性质: （1） f(x,y)>0，-∞<x，y <+∞ ; (3.25) （2）二维正态分布的边际分布密度为 （3） 04 条件分布与随机变量的独立性 条件分布与随机变量的独立性 04 条件分布 1.离散型随机向量 定义3.8 设(X,Y)是离散型随机向量，它的分布列是，对给定的j，若，则称 为随机变量关于的条件分布列。 条件分布与随机变量的独立性 04 条件分布 1.离散型随机向量 类似地，随机变量关于的条件分布列定义为 称 为下X的条件分布函数。 条件分布与随机变量的独立性 04 条件分布 1.离散型随机向量 同样称 为下的条件分布函数。 条件分布列满足分布列的以下两个基本性质: 条件分布与随机变量的独立性 04 条件分布 【例1】设(X,Y)的概率分布列如表3.5所示，求X,Y的两个条件分布列。 解:由表3.5及式(3.28)、式(3.29）直接可得表3.6和表3.7. 条件分布与随机变量的独立性 04 条件分布 2.连续型随机向量 定义3.9 设(X,Y