4 随机变量的数字特征（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（电工版·2020）

概率论与数量统计 随机变量的数字特征 第四章 01 数学期望 数学期望 01 离散型随机变量的数学期望 数学期望（mathematical expectation）又称为平均值。首先来看例子。 【例1】某班学生成绩的分布列为 试求学生成绩的平均值。 这里所说的平均值是加权平均值。设该班共有N名学生，则所得总分为 从面得平均成绩为总成绩/总人数=3.9N/N=3.9。 数学期望 01 离散型随机变量的数学期望 【例2】设有甲、乙两个射手，他们击中环数的分布情况如下所示。 试根据上述分布情况判断哪个射手的射击技术较好。 数学期望 01 离散型随机变量的数学期望 这个问题的答案由给出的数据不能直接得出。可以假设两个射手各射击100次，由上述分布情况可以求出他们各自的总成绩如下。 平均来看，甲每次射中9.3环，乙每次射中9.1环。因此，有理由认为甲的射击技术要好一些。 数学期望 01 离散型随机变量的数学期望 定义4.1 设X是离散型随机变量，其概率分布列为 若级数 绝对收敛，则称级数 为随机变量X的数学期望，记为；若级数 发散，则称X得数学期望不存在。 随机变量得数学期望由它得概率分布列唯一确定。 数学期望 01 离散型随机变量的数学期望 【例3】设X的概率分布列为 求随机变量X的数学期望。 解:因X只取有限个值，故其数学期望存在，由式（4.2）得 数学期望 01 离散型随机变量的数学期望 【例4】设袋中有编号为k的k个球，k=1,2,…,n。从中任意摸出一球，记摸出球的号码数为X，求X的数学期望。 数学期望 01 连续型随机变量的数学期望 定义4.2 设连续型随机变量X得分布密度为，若积分 绝对收敛，则称这个积分为X的数学期望，记为；若式（4.3）不绝对收敛，则称随机变量X的数学期望不存在。 数学期望 01 离散型随机变量的数学期望 【例5】设随机变量X服从区间[a,b]上的均匀分布，即X的分布密度为 则X的数学期望为 即X的数学期望恰好等于区间[a,b]的中点，它直观地表示了E(X)的意义。 数学期望 01 离散型随机变的数学期望 【例6】设随机变量X服从参数为λ的指数分布，其分布密度为 其中λ>0，求E(X)。 数学期望 01 离散型随机变量得数学期望 【例7】设随机变量X服从柯西分布，其分布密度为 问其数学期望是否存在? 数学期望 01 随机变量函数的数学期望 定理4.1 设是随机变量X得连续函数。 （1）设X是离散型随机变量，概率分布列为。若级数 绝对收敛，则存在，且 （2）X是连续型随机变量，其分布密度为，若积分 绝对收敛，则存在，且 数学期望 01 【例8】设离散型随机变量X的分布列为 试求的数学期望。 随机变量函数的数学期望 数学期望 01 随机变量函数的数学期望 定理4.2 设(X,Y)是二维随机向量，是(X,Y)的连续函数，则有： （1）设(X,Y)是二维离散型随机向量，其联合概率分布列为 若级数 绝对收敛，则 数学期望 01 随机变量函数的数学期望 （2）若(X,Y)是二维连续型随机向量，其联合概率分布列为，若广义积分 收敛，则 数学期望 01 【例9】设二维随机向量(X,Y)的分布密度为 试求Z=XY的数学期望。 随机变量函数的数学期望 数学期望 01 【例10】航海雷达的环视扫描显示器是半径为R的一个圆，由灯塔反射回来的信号按均匀分布以光点的形式呈现在这个圆内的任意位置，求光点中心到圆心距离的平均值。 随机变量函数的数学期望 数学期望 01 【例11】【例4.1.18】游客乘电梯从电视塔的底层到贝云观北意时间v到达底层的候梯处，X分钟和第55分钟从底层起行。假设游客在某一小时内的任意时间X到达底层的候梯处，X服从[0,60]上的均匀分布，求游客等候时间的平均值。 解：设游客等候时间为Y，则 随机变量函数的数学期望 数学期望 01 【例11】【例4.1.18】游客乘电梯从电视塔的底层到贝云观北意时间v到达底层的候梯处，X分钟和第55分钟从底层起行。假设游客在某一小时内的任意时间X到达底层的候梯处，X服从[0,60]上的均匀分布，求游客等候时间的平均值。 随机变量函数的数学期望 数学期望 01 数学期望的性质 性质1.设c是常数，则有。 性质2.设X是随机变量，c是常数，则有 性质3.设X,Y是任意两个随机变量，则有 性质4.设X,Y是两个相互独立的随机变量，则有 数学期望 01 性质3和性质的证明过程如下： 数学期望的性质 数学期望 01 【例12】设有两个电子装置与，其寿命X与Y是分