2.2 离散型随机变量的概念 常见的离散型随机变量（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版）

第二节 离散型随机变量 二、常见的离散型随机变量 三、小结 一、离散型随机变量的概念 一、离散型随机变量的概念 或可列无穷多个数值 定义1： 随机变量. 若随机变量X只能取有限个数值 X P 则称X为离散 离散型随机变量X取得任一个可能值 的 称为离散型随机变量X的概率函数或分布律. 列表如下： 概率 记作 性质 ——非负性 ——正则性 设X是离散型随机变量， 概率函数为 分布函数为 解 例1 设离散型随机变量X的概率分布为 求： X的分布函数为F(x)，并绘制F(x)的图像; 和 解 例1 设离散型随机变量X的概率分布为 求： X的分布函数为F(x)，并绘制F(x)的图像; 和 解 例1 设离散型随机变量X的概率分布为 求： X的分布函数为F(x)，并绘制F(x)的图像; 和 离散型随机变量的分布函数F(x)是分段阶梯函数， 在X的每一个可能取值 处发生间断， 间断点为跳跃间断点， 跳跃高度为随机变量X取 的概率值 二、常见的离散型随机变量 1. 0-1 分布 0 < p < 1 凡试验只有两个结果，常用0-1分布描述， 如产品是否合格、人口性别统计、 系统是否正常、电力消耗是否超标等等. 注 如果随机变量X只可能取0和1两个值， 其概率分布为 定义2： 则称随机变量X服从0-1分布或两点分布. 列表为 X 0 1 P 随机变量X的概率分布为 例2 100件产品中，有95件正品，5件次品，现从中随机地抽取一件.如抽取每一件的机会相等，如 注 设一批产品共N件，其中有M件次品，从这批产品中不放回地依次抽取n件样品，则样品中的次品数 设随机变量X的概率函数为 定义3 随机变量X服从超几何分布， 其中n, M, N都是正整数，且 记作 2.超几何分布 则称 其中n, M, N是分布参数. 任取三只， 例3 盒子中共有15只球，其中黑球2只，剩下的为白球，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X表示取出黑球的只数， 求X的分布律． 解 X 包含黑球的只数X可能为 0, 1, 2. 设随机变量X的概率函数为 定义4 随机变量X服从二项分布， 其中n为正整数，且 记作 注 设一批产品共N件，其中有M件次品，即次品率 从这批产品中有放回地依次取n件产品，则样品中的次品数 3. 二项分布 则称 其中n, p是分布参数. 伯努利概型中，设事件A在每次试验中发生的概率为p，则事件A在n次独立试验中发生的次数 当 时， 二项分布 0-1 分布 3. 二项分布 算出具体数值列表如下： 例4 设种子发芽率是80%，种下5粒，用X表示发芽的粒数，求X的概率分布. 解 X 例5 某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中两次的概率. 解 将一次射击看成是一次试验， 注：小概率事件虽不易发生，但重复次数多了，就成了大概率事件，这说明决不能轻视小概率事件． 设击中的次数为X， 定理1 注 当一批产品的总量N很大，而抽取样品的数量 n相对于N较小（ ）时，则不放回抽样（样品中的次品数服从超几何分布）与放回抽样（样品中的次品数服从二项分布）没有多大差异. 则有 当 时， （超几何分布的极限分布是二项分布） 则称随机变量X服从泊松 分布， 设随机变量X的概率函数为 定义5 其中 记作 其中 是分布参数. 4. 泊松分布 (Poission) 在某个时段内： ①大卖场的顾客数； ③某地区拨错号的电话呼唤次数； ②市级医院急诊病人数； ④某地区发生的交通事故的次数； ⑦一个容器中的细菌数； ⑧一本书一页中的印刷错误数； ⑥一匹布上的疵点个数； 应 用 场 合 ⑤放射性物质发出的 粒子数； 注 1812年当选为巴黎科学院院士. 西莫恩·德尼·泊松 Simeon-Denis Poisson、1781～1840 法国数学家 几何学家 物理学家.      泊松是19世纪概率统计领域里的卓越人物.他建立了描述随机现象的一种概率分布──泊松分布.他推广了“大数定律”，并导出了在概率论与数理方程中有重要应用的泊松积分. 1798年入巴黎综合工科学校深造. 受到拉普拉斯、拉格朗日的赏识.1800年毕业后留校任教.1808年任法国经度局天文学家. 解 例6 某一无线寻呼台，每分钟收到寻呼的次数X服从参数 的泊松分布．求： (1)一分钟内恰好收到3次寻呼的概率； (2)一分钟内收到2至5次寻呼的概率． 定理2 （泊松定理）