1.4 随机事件的独立性（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版）

第四节 随机事件的独立性 二、伯努利概型 一、随机事件独立性的定义及其性质 三、小结 事件之间是相互影响的，因此一般来讲 乘法公式知，一般 即事件A的发生会影响到事件B的发生． 由条件概率的 一、随机事件独立性的定义及其性质 定义1： 若两个随机事件A,B满足 则称事件A、B相互独立，简称独立． 注1: 两个事件独立本质上是两个事件发生与否互不 影响， 这都表明 而当 时，有 或当 时 即 同理当 时， 也成立. 这样，利用 定义事件 的 独立性，就不必再要求 或 了. 亦即当 时 从而 成立； 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张牌，记A 例1： 为“抽到Q”，B为“抽到的牌是红色”，判断事件 A,B是否独立？ 解： 故 所以事件A,B独立． 另解: 由题意 因 故事件A,B独立． 从事件独立性的定义，不难得到如下性质． （1）必然事件Ω、不可能事件Φ与任意事件A独立． （2）若A,B独立，则 由 知当A,B独立时， A与 独立． 同理可证其他情形． 均独立． （3）已知 ，则“A,B独立”与 “A,B不相容”不会同时成立． 另外， A,B独立意味着各自发生与否互不影响 ，而A,B不相容恰好表明A,B之间的排斥特性（自然不独立）． 独立 相容 不相容 不独立 6 对于三个或三个以上事件的独立性，则应考虑到其任何局部之间都满足互不影响的特性． 定义2： 设有n个随机事件 ， 若其中任意k个事件满足 则称n个事件是相互独立的． (*) 7 注2: 式(*)包含的等式数 上述定义中，若其中任意两个事件均满足式(*)， 注3: 当n较大时，判断相互独立的等式数非常多，因此实践中往往根据实际情况判断事件之间的独立性． 则称n个事件是两两独立的． 显然，相互独立必两两独立，两两独立不一定相互独立，也即两两独立是相互独立的必要而非充分条件． 在一个质地均匀的正四面体的表面涂上颜色，其 例2： 中三个面的每个面均涂一种颜色，分别是红色、绿色和蓝色，第四个面将三种颜色均涂上．随机地抛一次这个正四面体，将有一个面着地，试讨论各着地面颜色的独立性． 出现上述例题结论的原因是，只要两种颜色同时着地也就意味着三种颜色同时着地，即那个涂有三种颜色的面着地，从而表明两种颜色同时着地同另外一种颜色着地有联系（不独立）． 由题意易知 故R,G,B两两独立而非相互独立． 记R,G,B分别表示红色、绿色和蓝色着地， 解： 若事件 相互独立，则 （1）则其中任意 个事件也相互独立． （2）则将其中任意 个事件换成它们的 对立事件，所得的n个事件仍相互独立． n个事件独立的性质： （3）则 甲乙丙三人独立地破译密码，已知各自能破译 例3： 出密码的概率分别是 和 ．问密码能被破译出来的概率是多少？ 记A,B,C分别表示甲、乙、丙破译出密码， 解： 则依题意 二、伯努利概型 定义3： 互不影响，即每次试验结果出现的概率不依赖于其他各次试验的结果，这样的试验称为独立试验序列，特别当试验次数是有限的n次，称作n重独立试验. 将随机试验E重复进行，若各次试验的结果 定义4： 在独立试验序列中，若每次试验只有两个结 果A与 ，且 ，则这样的试验称为伯努利（Bernoulli）试验．将伯努利试验在相同条件下进行n次，称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验，或伯努利概型． 在n重伯努利试验中，事件A发生的概率 定理1： 该定理称作伯努利定理． 则A恰好发生 次的概率为 证明： 将n重伯努利试验序列表示为 且共有 k 个A和 n- k 个 其中 易知 有 种不同的序列，而每个 出现都是互不相容的，利用概率的有限可加性 则A恰好发生k次的概率为 对于指定出现序列，利用独立性，有 一份试卷是由5道选择题构成，每道题四个选项 例4： 且只有一个正确选项，如果某位同学每道题都是随机选择一个选项，那么这位同学最多能答对两道题的概率是多少？ 解： 每道题随机选择一个选项，选对答案的概率是 则5道选择题做随机选择相当于做了5重伯努利试验, 故最多能答对两道题的概率是 又 所以 小结 1. 主要概念： 2. 性