1.2 随机事件的概率（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（机工版）

第二节 随机事件的概率 二、古典概型与几何概型 四、小结 一、频率与概率 三、概率的公理化定义及其运算性质 在相同的条件下重复进行n次试验，随机事件 一、频率与概率 定义1： A发生的次数 称作频数，比值 称作随机事件A的频率，记作 ，即 在相同的条件下进行大量重复试验，试验结果具有一定的内在规律性，即随机事件在这种大量重复试验的条件下出现的机会是稳定的。所以，我们可以将随机事件的出现机会与一定数值相对应。 如： 实践证明： 相同条件下的大量重复试验中，事件 A的 频率具有稳定性．也就是说，当试验次数n充分大时，事件 A的频率 在某一个确定的数字附近摆动. 抛一枚质地均匀的硬币， 当抛的次数足够大时，硬币正面朝上的频率越来越稳定于0.5. 历史上一些著名统计学家进行过抛硬币试验，得到的结果结果见下表 试验者 抛硬币次数/次 正面朝上次数/次 正面朝上的频率 Buffon 4040 2048 0.5069 Fisher 10000 4979 0.4979 Pearson 12000 6019 0.5016 Pearson 24000 12012 0.5005 n充分大时，事件 A的频率 在0.5附近摆动. 例1： 祖冲之第一次把它计算到小数点后七位，此纪录随后被保持了1000多年．人们对于圆周率的计算从未停止过，此后一直有人不断将 π 算得越来越精确. 1873年，英国学者沈克士公布了一个π的数值，该数值小数点后面一共有707位．当时人们都是采用手动计算，即便对他的计算有疑问，也无法确切知晓真实结果． 圆周率 π是一个无限不循环小数，我国数学家 几十年后，曼彻斯特的费林生对沈克士计算的结果产生疑问，他统计了沈克士计算结果的608位小数，得到的结果如表 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 出现次数 60 62 67 68 64 56 62 44 58 67 费林生产生怀疑的理由是什么？ 圆周率 π 是一个无限不循环小数，因此理论上每个数字的出现都不会具有某种偏好性，即每个数字出现的次数应近似相等，或者这些数字的出现频率应都接近0.1，但是数字7出现的频率过小． 这就是费林生产生怀疑的原因． 频率的性质： （1）非负性： （2）规范性： （3）有限可加性： 频率稳定性的事实说明随机事件发生的可能 具有客观存在性． 设 m 个随机事件 两两不相容， 有 在相同的条件下重复进行 n 次试验，随机事 定义2： 件A发生的频率 随着试验次数 n 的增大而稳定地在某个常数 p 附近摆动，则称 p 为事件A的概率，记为 注1: 随机事件A发生的概率具有频率所具备的性质． 这是利用频率的稳定性对随机事件概率的统计 注2: 定义，实际应用中常常用频率来估计概率，即当n足够大时，有 为了估计某个鱼塘里的鱼数，从该鱼塘捕捞 例2： 100 条鱼，做完标记后再放入鱼塘．过些时日后，从鱼塘里捕捞40条鱼，发现其中两条有标记．试问，鱼塘里大约有多少条鱼？ 则利用概率与频率的关系， 解： 设鱼塘中有 x 条鱼， 于是 即鱼塘里大约有2000条鱼． 有 二、古典概型与几何概型 定义3： （1）古典概型 如果随机试验具有下述两个特征： （1）随机试验只有有限个可能的结果； 则称这样的随机试验模型为古典概型． （2）每个结果发生的可能性大小相同． 在古典概型中，设随机试验的样本空间 且 由概率的规范性和有限可加性，知 则对于包含 k 个样本点的随机事件A发生的概率为 分析： 辅助知识： （1）加法原理： （2）乘法原理： 设完成一件事有 m 种方式，第 i 种 方式有 方法（每种方法均可完成这件事），则完成这件事的方法总数为 设完成一件事有 m 个步骤，第 i 步 有 方法（必须完成每一步骤才能最终完成这件事）,则完成这件事的方法总数为 （3）排列公式： 当 时称为 n 个元素的全排列，即 （4）组合公式： 从 n 个元素中任取 个 排成一排，则不同的排列总数为 从 n 个元素中任取 个 组成一组，则不同的组合总数为 例3： 掷一枚质地均匀的骰子两次，求两次点数之和 为7的概率． 解： 令骰子先后两次出现的结果为 样本空间 记“两次点数之和为7”为事件 A 事件 则两次点数之和为7的概率 本题若按照两次点数之和作为样本空间，即 注： 而“和为7”只是样本空间中的 一个样本点，若按照古典概型的概率计算公