5.1.1变化率问题（1）课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

一元函数的导数及其应用 5.1.1变化率 17世纪中叶，牛顿和莱布尼茨各自独立地创立了微积分 牛顿偏重从物理问题出发，应用了运动学的原理，如瞬时速度中的“微分”、运动变量的“积分”等概念. 莱布尼茨从几何学问题出发，用分析法引进微积分，得出运算法则，比牛顿的更为规范和严密. 章前导入 导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等性质的基本方法，因而也是解决诸如增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等实际问题的基本工具. 在本章，我们将通过丰富的实际背景和具体实例，学习导数的概念和导数的基本运算，体会导数的内涵与思想，感悟极限的思想，通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义. 1．通过对大量实例的分析，理解平均变化率和瞬时变化率，了解导数概念的实际背景． 2．知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵． 3．会利用导数定义求函数在某一点处的导数.(重点、难点) 学习目标 景飞 冉 (景冉) - 探究新知 问题1 高台跳水运动员的速度 问题1 高台跳水运动员的速度 探究 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h (单位: m)与起跳后的时间t (单位: s)存在函数关系 如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢? （1）从物理学角度我们用哪一个 量来刻画某段时间内运动员的运动 状态？ 我们可以把整个运动时间段分成许多小段, 用运动员在每段时间内的平均速度 近似地描述他的运动状态. 创设情境 引入课题 1 问题1 跳水运动员的速度 思考1 如何计算跳水运动员在 这段时间里的平均速度？ 运动员在 时间段内的平均速度 举一反三 计算跳水运动员在 这段时间里的平均速度. 当运动员起跳后的时间从t1 增加到 t2时,运动员的平均速度是多少？ 思考1： 这里Δx看作是对于x1的一个增量”可用x1+Δx代替x2， 同样Δy=f(x2)-f(x1) 思考 计算运动员在 这段时间里的平均速度，并思考下列问题： (1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 抽象概念 内涵辨析 2 瞬时速度： 物体在某一时刻的速度. 为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念. 探究 瞬时速度与平均速度有什么关系？ 你能利用这种关系求运动员在 时的瞬时速度吗？ 设运动员在时刻附近某一时间段内的平均速度是 可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么将越来越趋近于运动员在时刻的瞬时速度. 新知探究：变化率问题 问题 运动员在t=1s时的瞬时速度是多少？ Δt是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0. 抽象概念 内涵辨析 2 问题1 跳水运动员的速度 思考 你认为上述列表计算瞬时速度的过程可靠吗？ 用有限个计算结果，不能断定平均速度是否永远具有这种特征. 我们发现，当∆t无限趋近于0，即无论t从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于－5. 事实上，由 可以发现，当∆t在无限趋近于0时， －4.9 ∆t也无限趋近于0 , 所以 无限趋近于－5. 这与前面得到的结论一致. 数学中，我们把－5叫做“当△t无限趋近于0时， 的极限”， 记为 从物理的角度看，当时间间隔| ∆t |无限趋近于0时，平均速度 就无限趋近于t= 1时的瞬时速度，因此，运动员在t=1s 时的瞬时速度v(1)=－5 m/s. 平均速度的极限为瞬时速度 思考 (1) 求运动员在t=2 s时的瞬时速度； (2) 如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻t0的瞬时速度? 平均速度与瞬时速度的关系： 1. 平均速度： 运动员在时间段[t0, t0＋Δt]内的平均速度为 当Δt无限趋近于0时，平均速度的极限为瞬时速度，记为 2. 瞬时速度： 两者都刻画物体的运动状态，瞬时速度是平均速度的极限值． 2. 火箭发射t s后，其高度(单位: m)为h(t)=0.9t2. 求： (1) 在1≤t≤2这段时间里，火箭爬高的平均速度； (2) 发射后第10 s时，火箭爬高的瞬时速度. 课本P61 3. 一个小球从5 m的高处自由下落，其位移y (单位: m)与时