5.1.1变化率问题（第1课时）课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1.1 变化率问题 第1课时 人教A版(2019)选择性必修第二册 学习目标 1.通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度,体会求瞬时速度的一般方法. 2.通过求抛物线在某点处切线斜率的过程,体会求切线斜率的一般方法. 3. 理解函数的平均变化率的概念. 4.核心素养:数学建模、数学运算、数学抽象 牛顿(Isaac Newton,1643年—1727年),英国物理学家、数学家. 莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz,1646年—1716年),德国哲学家、数学家. 一、情境导入 微积分的创立 物体运动 曲线的切线 函数的最大(小)值 长度、面积、体积和重心 问题1 高台跳水运动员的速度 在高台跳水运动中,某运动员的重心相对于水面的高度(单位:)与起跳后的时间(单位:)存在函数关系: 如何描述运动员从起跳到入水过程中运动的快慢程度呢? 二、新课讲授 问题1 高台跳水运动员的速度 把整个运动时间段分为许多小段,用运动员在每段时间的平均速度近似描述他的运动状态. 追问1 如何求运动员从起跳到0.5秒,起跳后1秒到2秒这两段时间的平均速度? 两段时间分别为0≤ ≤0.5和1≤ ≤2 于是有:=; = 借助计算器或Excel求得: =2.35(m/s) =-9.9(m/s) 追问2 如何求运动员起跳到秒到秒这段时间的平均速度? 时间段为≤ ≤ ,因此有 = 追问3 计算运动员在≤ ≤ 这段时间的平均速度,你发现了什么? ==0 追问4 你认为≤ ≤ 这段时间的平均速度,近似描述运动员在这段时间内的运动状态,有什么问题呢? 运动员的平均速度,只关注了从初始到终止这个时间段的情况,忽略了中间运动过程,因此不能准确刻画运动员的运动状态. 瞬时速度 问题2 瞬时速度与平均速度有什么关系?你能利用这种关系,求运动员在=1 时的瞬时速度吗? 平均速度 缩短时间段长度 瞬时速度 在=1之后或之前,任意取一个时刻 当时, 在1之后,在[1, ]这段时间, 有= = = = 9 在=1之后或之前,任意取一个时刻 当时, 在1之前,在[1]这段时间, 有= = = = 当不断地趋近于0时,平均速度趋近于-5 = 当无限趋近于0时, 也无限趋近于0,所以无限趋近于-5. 我们把-5叫做“当无限趋近于0时, =的极限”,记为: 追问1 你能利用上述方法计算=2s时的瞬时速度吗? = = = = 所以14.8 追问2 你能推导出任意时刻时瞬时速度的表达式吗? 因为,所以运动员在时间段[, + ](或[+ , ] )的平均速度为: = = = =+4.8 所以 三、课堂小结 1、通过不断缩小时间间隔,用平均速度逼近得到了瞬时速度.瞬时速度是平均速度当时间间隔无限趋近于0时的极限.无限逼近的极限思想是微积分学的基础. 四、作业布置 课本P62:练习 第3题 2、平均速度= 3、瞬时速度 $$