第九章 线性回归分析与方差分析_3（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（大连理工出版社）

第九章 线性回归分析与方差分析 第一节 一元线性回归分析 第二节 可线性化的非线性回归 第三节 多元线性回归简介 第四节 方差分析 第四节 方差分析 一、单因素方差分析 在实际问题中，影响一事物的因素往往是很多的． 例如，在化工生产中，有原料成分、原料剂量、催化剂、反应温度、压力、反映时间等因素，每一因素的改变都有可能影响产品的质量． 有些因素影响较大，有些影响较小． 方差分析就是根据试验的结果进行分析，鉴别各有关因素对试验结果影响的有效方法． 在试验中，将要考察的指标称为试验指标，影响试验指标的条件称为因素． 因素所处的状态称为该因素的水平． 如果试验仅考虑一个因素，则称为单因素试验，否则称为多因素试验． 我们先讨论单因素试验． 例1 某消防队要考察4种不同型号烟雾报警器的反应时间（单位：s）．今将每种型号的报警器5个安装在同一条烟道中，当烟量均匀时观测报警器的反应时间，得数据如下： 报警器型号 反 应 时 间 A1（甲型） 5.2 6.3 4.9 3.2 6.8 A2（乙型） 7.4 8.1 5.9 6.5 4.9 A3（丙型） 3.9 6.4 7.9 9.2 4.1 A4（丁型） 12.3 9.4 7.8 10.8 8.5 这里，试验的指标是报警器的反应时间，报警器为因素． 4种不同型号的报警器是因素的4个不同水平．这是一个单因素试验． 我们要考察： ①各种型号的报警器的反应时间有无显著性差异？ ②如果各种型号的报警器的反应时间有显著性差异，那么何种型号的报警器最优？ 上表中数据可看作来自4个不同总体（每个水平对应一个总体）的样本值，将各个总体均值依次记为 则各型号报警器的反应时间有无显著性差异的问题相当于需检验假设 不全相等． 若再假定各总体均值为正态总体，且各总体方差相等， 那么这是一个检验同方差的多个正态总体均值是否相等的问题． 显然，检验假设H0可以用前面所讲的t检验法，只要检验任何二个总体均值相等就可以了． 下面所要讨论的方差分析法就是解决这类问题的一种检验方法． 但是这样做要检验3次，比较繁琐． … 总体均值 … 样本均值 Xs2 X22 X12 Xs1 X21 X11 As … A2 A1 水平 观测值 设影响指标值的因素A有s个水平A1，A2，…，As 在水平Ai（i=1,…,s）下，进行 次独立试验，得样本Xij，j=1，…，ni： 假定水平Ai下的样本来自正态总体 ， 未知，且不同水平Ai下的样本独立 记 有 j=1,…，ni i=1，…，s Xij相互独立 于是 为随机误差 由假设 在方差分析中，为了便于推广到多因素试验的情形，习惯上又有下列表示式： j=1,…，ni i=1，…，s 其中 称 为总平均 称 为水平Ai的效应， 满足 现在，要检验 等价于检验 不全为零 下面从平方和的分解着手,导出上述假设H0的检验方案 记 ST能反映全部试验数据之间的差异，因此称ST为总偏差平方和 由于 于是有平方和分解式： ST=SE+SA 其中 称SE为误差平方和，SA为因素A的平方和 SE反映了各水平Ai内由于随机误差而引起的抽样误差 SA反映了因素A的水平不同而引起的误差外加随机误差 定理1 （1） （2）SE与ST相互独立； （3）当 时， 。 为了检验 取 F~F(s-1，n-s) 当H0成立时，由定理1， 直观上，当H0成立时，由因素水平的不同引起的偏差相对于随机误差而言可以忽略不计，即F的值应较小；反之，若F值较大，自然认为H0不成立． 若检验结果认为假设H0不成立，则可用 作为 的点估计，或者对 进行区间估计。 由 得到：在显著性水平 下H0的拒绝域： 计算F的值可用表9-1所示的方差分析表 n-1 ST 总和 n-s SE 误差 s-1 SA 因素A F值 均方和 自由度 平方和 偏差来源 表9-1 单因素方差方析表 来源 平方和 自由度 均方和 F值 因素A 56.29 3 18.76 F=6.15 误差 48.77 16 3.05 在实际应用中，一般在 下若仍不能拒绝H0时则接受原假设H0 例2 在例1中，s=4,n1=n2=n3=n4=5,n=20，经计算列方差分析表如下： 查表，得 F0.10（3.16）=2.46，F0.05（3.16）=3.24 从而在显著性水平 下检验结果拒绝H0 由方差分析可知，4种型号的报警器的反应时间确有