第二章 一维随机变量及其分布_1（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（大连理工出版社）

第二章 一维随机变量及其分布 第一节 随机变量 第二节 离散型随机变量 第三节 随机变量的分布函数 第四节 连续型随机变量及其概率密度 第五节 随机变量的函数的分布 第一节 随机变量 定义 设X ＝X (w )是定义在样本空间W上的实值函数，称X ＝X (w )为随机变量. 随机变量通常用大写字母X，Y，Z，W，...等表示． 下图给出样本点w与实数X ＝X (w )对应的示意图 W x 这个定义表明，随机变量 X是样本点 的一个函数，这个函数可以是不同样本点对应不同的实数，也允许多个样本点对应同一个实数.这个函数的自变量（样本点）可以是数，也可以不是数，但因变量一定是实数. 掷一颗骰子，出现的点数X是一个随机变量. 每天进入某超市的顾客数Y；顾客购买商品的件数U；顾客排队等候付款的时间V. Y，U，V是三个不同的随机变量. 电视机的寿命T是一个随机变量. 例如 对于样本点本身不是数的随机试验，这时可根据需要设计随机变量。 例3 一射手对目标进行射击，击中目标记为1分，未中目标记为0分.设X表示该射手在一次射击中的得分，它是一个随机变量，可以表示为 例4 观察一个电话交换台在一段时间（0，T）内接到的呼叫次数．如果用X表示呼叫次数， 那么 表示一随机事件， 显然 也表示一随机事件． 随机变量的取值随试验的结果而定，而试验的各个结果出现有一定的概率，因而随机变量的取值有一定的概率. 按照随机变量可能取值的情况，可以把它们分为两类：离散型随机变量和非离散型随机变量，而非离散型随机变量中最重要的是连续型随机变量.因此，本章主要研究离散型及连续型随机变量. 定义 如果随机变量的全部可能取的值只有有限个或可列无限多个，则称这种随机变量为离散型随机变量. X 取各个可能值的概率，即事件 的概率为 （1） 称（1）式为离散型随机变量X的分布律 . 一般地，设离散型随机变量 X 所有可能取的值为 第二节 离散型随机变量 分布律也可以直观地用下面的表格来表示： 由概率的定义，式（1）中的 应满足以下条件： 随机变量X的所有取值 随机变量X的各个取值所对应的概率 例1 某系统有两台机器相互独立地运转．设第一台与第二台机器发生故障的概率分别为0.1，0.2，以X表示系统中发生故障的机器数，求X 的分布律． 解 故所求概率分布为： （一）（0－1）分布 设随机变量 X 只可能取0与1两个值，它的分布律是 则称 X 服从（0－1）分布或两点分布． （0－1）分布的分布律也可写成 抛一枚硬币，观察出现正面H还是反面T，正面X＝0,反面X＝1 T H 对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元素，即 ，我们总能在W上定义一个服从（0－1）分布的随机变量． 来描述这个随机试验的结果。 检查产品的质量是否合格，对新生婴儿的性别进行登记，检验种子是否发芽以及前面多次讨论过的“抛硬币”试验都可以用（0-1）分布的随机变量来描述． 伯努利试验是一种非常重要的概率模型，它是“在同样条件下独立地进行重复试验或观察”的一种数学模型，有着广泛的实际应用． 设试验 只有两个可能结果： 及 , 则称 为伯努利（Bernoulli）试验．设 ，此时 ,将E 独立重复地进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验. （二） 伯努利试验与二项分布 现在求它的分布律 ． 由试验的独立性，得 这种项共有 个，而且两两互不相容． 同理可得上式右边各项所对应的概率均为 即 利用概率的加法定理知 显然 注意到 刚好是二项式 的展开式中 ～ 例2 已知某类产品的次品率为0.2，现从一大批这类产品中随机地抽查20件，问恰好有k (k=0,1,2,…,20)件次品的概率是多少？ 解 这是不放回抽样．但由于这批产品的总数很大，且抽查的产品的数量相对于产品的总数来说又很小，因而可以当作放回抽样来处理．这样做会有一些误差，但误差不大.我们将检查一件产品是否为次品看成是一次试验，检查20件产品相当于做20重伯努利试验．以X记抽出的20件产品中次品的件数，那么X是一个随机变量，且X～b(20,0.2) 则所求的概率为 将计算结果列表如下： k k 0 1 2 3 4 5 0.012 0.058 0.137 0.205 0.218 0.175 6 7 8 9 10 ≥11 0.109 0.055 0.022 0.007 0.00