Ch7-4正态总体均值与方差的区间估计（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（大连理工·第三版）

9 第七章参数估计 .4正态总体均值与方差的区间估计 7.4正态总体均值与方差的区间估计 内容摘要：根据事先给定的置信水平，当总 体服从正态分布时，可对单个总体的均值和方差进 行区间估计，也可以对两个总体的均值差和方差比 进行区间估计，还可以得到估计区间的精确度.在 生产技术活动中，时常关心的是元器件的平均寿命 指标的下限或者上限；关心反映机器工作状态的稳 定性指标（即方差）的最大上限.因此建立了单侧置 信区间的概念和理论， 上页 下页 返回 7.4.1提出问题 在上一节，对正态总体方差o2已知时的未知参 数μ分析了置信区间.这就提出了一个问题：正态总 体方差02为未知时如何分析未知参数μ的置信区间 呢？对两个正态总体如何分析总体均值μ以及方差 02置信区间呢？ 7.4.2预备知识 标准正态分布，分布，X2分布，F分布，上α分 位点 上页 下页 返回 7.4.3建立理论与方法应用 1.单个总体N(μ，o2)的情况 设给定置信水平为1-a,并设x,X2,,X,为 取自总体X的样本，且总体XN(u,σ2)玉和 S2分别是样本均值和样本方差 ()总体方差σ2已知时μ的置信区问 由上节例可知： μ的置信水平为1-a的一个置信区间为 -+ 上页 下页 返回 例7.4.1某车间生产滚珠，从长期实践知 滚珠直径X~N(μ，。2)，。2=0.04从当天生产的亮 品中任取6个，量得直径（单位：mm)如下： 14.70,15.21,14.90,14.91,15.32,15.32, 求此车间生产的滚珠直径的均值从的置信区 间.取(a=0.05) 思考题 总体方差是否已知？ 上页 下页 返回 解由(7.3.1)式知，当已知σ2时均值 μ的置信区间为 计算得x=15.06,0=0.2, n=6. 当=0.05时，查表得 附表2-2 3a12=30.025=1.96 得到μ的置信水平为0.95的置信区间是 14.9,15.22). 上页 下页 返回 讲评 上述置信区间的实际意义是： (1)估计滚珠直径的均值14.9mm与 15.22mm之间，并且这个估计的可信程度可达 95%; (2)若以此区间内任一值作为μ的近似值， 其估计误差不大于 0.2 ×1.96×2=0.3201(mm) 这个误差的可信程度为95%. 上页 下页 返回 (2)σ2未知时均值的置信区间 此时，正态总体方差σ2未知， 因此不 能利用(7.3.1)式给出的置信区间，因其中含 未知参数σ2. 考虑到样本方差S2是总体方差σ2的无 偏估计，将 “中的σ换成S=尽，由6.3节 ●入 n 抽样分布定理1知，样本函数 上页 下页 返回 灭-业~tn-), S/√n 并且(-1)分布不依赖于任何未知参数. 参见1分布概率密度的对称性（见图7-2）， ◆h(t) 2 2 -t红(n-1) tn-1订 图7-2t分布的双侧置信区间 上页 下页 返回 我们取 P-老a-1-2 即 r-言o-jaei2o--a 于是得4的置信度为1-0的置信区间 8-.a-n+a- (4.1) 上页 下页 返回