Ch7-2估计量的评判标准（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（大连理工·第三版）

第七章 参数估计 7.2 估计量的评判标准 内容摘要：利用随机变量的均值和方差, 讨论了估计量的三个常用的评判标准——无偏性、有效性和一致性. 在数据处理中，无偏性和有效性更为实用. 7.2 估计量的评判标准 上页 下页 返回 上页 下页 返回 7.2.1 提出问题 对于总体的同一个未知参数, 由于采 用的估计方法不同, 可能会产生多个不同的估计量. 这就提出了一个问题： 当总体的同一个参数存在不同的估计量时, 究竟采用哪一个更好呢? 7.2.2 预备知识 数学期望及其性质，方差及其性质，依概率收敛. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 定义1 若估计量 的数学期望 存在, 且对于任意 有 则称 是 的无偏估计量. 1. 无偏性 我们希望估计量在未知参数真值附近摆动, 即它的数学期望等于未知参数的真值, 这就导致无偏性这个标准的产生. 7.2.3 建立理论 上页 下页 返回 上页 下页 返回 讲评 无偏性要求可以改写为 , 这表示无偏估计没有系统偏差. 当我们使用 估计θ 时，由于样本的随机性， 估计θ总是 有偏差的，这种偏差时而(对某些样本观测值)为正,时而(对另一些样本观测值)为负，时而大，时而小. 无偏性表示，把这些偏差平均起来其值为0，这就是无偏估计的含义. 而若估计不具有无偏性，则无论使用多少次，其平均也会与参数真值有一定的差距，这个差距就是系统误差. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 证 因而 由于 例7.2.1 设总体X的k阶矩 存在, 又设 是来自总体X的一 组样本. 试证明不论总体服从什么分布, 样本 k阶矩 是总体阶矩的无偏估计量. 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 上页 下页 返回 上页 下页 返回 所以, 样本k阶原点矩是总体参数k——总体 k 阶原点矩——的无偏估计量. 讲评 不管总体服从什么分布, 只要总体的数学期望存在, 样本均值总是总体均值的无偏估计量. 这个结论可以当作定理应用. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 例7.2.2 设总体X的方差 存在， 是来自X的样本, 试证明: (1) 样本二阶中心矩 不是总体方差 的无偏估计量; (2) 统计量 是总体方差的无偏估计； (3) 样本方差 是总体方差 的无偏估计量； (4) 样本标准差S不是总体标准差σ的无偏估计量. 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 上页 下页 返回 上页 下页 返回 由假设方差 存在，可设 总体X的数学期望 . 证 (1) 由6.2节定理1的结论(1)知 所以 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 上页 下页 返回 上页 下页 返回 （2） (3) 因为 , 所以， （4） 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 上页 下页 返回 上页 下页 返回 讲评 我们可以把样本二阶中心矩B2作为总体方差D(X)=σ2的估计量,但它不 是方差D(X)的无偏估计量,而样本方差S2才是方差D(X)的无偏估计量. 这就是我们定义 而不是定义 的根本原因. 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 上页 下页 返回 上页 下页 返回 证 例7.2.3 设总体服从X参数为θ的指数分布, 其概率密度为 其中参数θ>0为未知, 又设X1, X2, …,Xn是来自总体X的一组样本. 试证明: 样本均值 和 都是总体均值的无偏估计量. 已知总体X均值