Ch5-2中心极限定理（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（大连理工·第三版）

第五章大数定律和中心极限定理 5.2中心极限定理 第五章大数定律和中心极限定理 5.2中心极限定理 内容摘要：中心极限定理是概率论中最著 名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变 量之和的近似概率的方法，而且有助于解释为 什么很多自然现象的统计规律服从正态分布这 值得注意的重大事实. 上页 下页 返回 5.2.1提出问题 (1)为什么正态分布在概率论中占有 极其重要的地位？ (2)随机变量之和的分布是什么？ 3)大样本统计推断的理论基础是什么？ 5.2.2预备知识 随机事件的概率，随机变量的均值、方差 上页 下页 返回 5.2.3分析问题 在实际问题中，常常需要考虑许多随机 因素所产生的总影响这些随机因素是相互独 立的，而其中每一个个别因素所起的作用都是 微小的. 这种量一般都服从或近似 服从正态分布， 上页 下页 返回 例如，炮弹射击的落弹着点与目标的偏 差，就受着许多随机因素的影响。如瞄 准时的误差，空气阻力所产生的误差，炮弹 或炮身结构所引起的误差等。 例如，开展物理试验实验所出现的测量 误差，等等。 对我们来说重要的是这些 随机因素的总影响， 射击误差 现在我们就来研究独立随机变量之和所 特有的规律性问题，解决“总影响”的 概率分布问题， 一般情况下，很难求出X1+X+…+X, 分布的确切形式，但当n很大时，可以求出 这个和的近似分布 当n无限增大时，这个和的极限分布是什 么呢？一般情况下它服从正态分布. 上页 下页 返回 5.2.4建立理论 在什么条件下极限分布会是正态 分布的呢？ 我们把在一定条件下，随机变量和的分布收 敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理. 本节只介绍三个常用的中心极限定理 上页 下页 返回 1.独立同分布中心极限定理 定理1（独立同分布中心极限定理） 设X1,X2,…,X,是独立同分布的随机变量 序列，且EX)=u,D(X)=o2>0,=1,2,…,n, 则随机变量之和∑xx的标准化变量 ∑X-n Y k=1 k=1 no 上页 下页 返回 的分布函数F(x)，对于任意x满足 ∑X,-nu 1imF.(x)）=limP{ ≤x} n→0 g√n (2.1) 证明略 这个定理通常也称为列维-林德伯格 (Levy-Lindeberg)中心极限定理 这个定理说明了以下4种概率分布形式： 上页 下页 返回 (1)对于均值为μ，方差为。2>的 独立同分布( 不管服从什么分布)的随机变 量的和 ∑的标准化随机变量，当充分大 时，近似成立： ∑X-nu k= N(0,1) (2.2) (2)对上式变形得到，随机变量和（即 随机变量的总影响)近似成立： ∑Xx~N(nμ，no2) (2.3) 上页 下页 返回 k=1