Ch5-1大数定律（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（大连理工·第三版）

9 第五章 大数定律和中心极限定理 5.1大数定律 0 第五章 大数定律和中心极限定理 5.1大数定律 内容摘要：切比雪夫不等式揭示随机变量 与其数学期望间偏差的概率与方差的关系，由 此给出三个常用的大数定律，它们是概率论和 统计推断的理论基础。 上页 下页 返回 5.1.1 提出问题 ()为什么可以利用某事件发生的频 率作为该事件的概率的近似值？ (2)为什么可以利用随机变量的算术 平均或样本均值作为总体均值的估计？ 上页 下页 返回 5.1.2预备知识 随机事件的概率，随机变量的均值和方差 5.1.3建立理论 1.切比雪夫不等式 上页 下页 返回 为了证明大数定律，下面我们首先学习 切比雪夫不等式 切比雪夫资料 引理（切比雪夫不等式） 设随机变量X 具有数学期望E()和方差D(X),e>0,有 PX-E(X)≥≤D(X) 82 或 Px-w<e2” 上页 下页 返回 3 证以连续型随机变量X为例， PX-E(X)川≥ε}=∫ f(x)dx x-E(X)≥ε ≤ -E(X) f(x)dx x-E(X)≥e ≤ ∫x-E(X)f(x)dx D(X) 对于离散型随机变量，证明类似. 上页 下页 返回 讲评 切比雪夫不等式给出了在X的分布未知的 情况下对事件 PX-E(X≥e≤ D(X) 99 发生的概 率进行估计的一种方法 (1.1)式几何意义是：只要随机变量具有数学期望 和方差，X落入区间(EX凶ε，EX)+e)的概率不小于 D(X) 上页 下页 返回 23 例5.1.1设随机变量X,Y的数学期望都是2， 方差分别是1和4，而相关系数为0.5.则根据切比 雪夫不等式PIX-Y|≥6}≤ 分析 本题涉及切比雪夫不等式的应用. 需要计算出X-Y的数学期望和方差，才好利用 切比雪夫不等式 上页 下页 返回 解令Z=X-Y,则E(Z)=E(X)-E(Y)=0 D(Z)=D(X -Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y =1+4-2×0.5xVf×√4=3. 于是有P1X-y1≥6}=P{IZ-E(Z)I≥6} D(Z) 6 12 讲评 利用切比雪夫不等式估计概率 时，我们只需要知道随机变量的数学期望和 方差即可，而不需要知道其具体分布.本题 的数学期望使得计算即简单又易出错，读者 注意这一点 上页 下页 返回 例5.1.2证明：证明4.2节定理2的 结论（⑤）：D(X)=0的充分必要条件是存在 常数C,使X以概率1取常数C,即PX=C=1,并且 C-E(X). 证先证充分性：已知PX=C=1,去证明 D(X)=0. 由P{X=C=1知X服从单点分布.得到 E(X)=CX 1=C,E(X2)=C2X1=C2. 所以， DX)=EX2)-EX)12=C2-C2=0. 即，充分性成立 上页 下页 返回