Ch4习题课下（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（大连理工·第三版）

第四章 随机变量的数字特征 习题课（下） 习题课分为上、下两部分. 在 上部分中, 我们归纳了第四章的概念、理论与方法等内容, 并对关键而又容易出错的地方作了讲评. 在“例题分类解析”部分, 讲解了: 1. 直接按定义计算随机变量的数学期望; 2. 利用数学期望的性质及常见分布的期望进行计算. 3. 直接按定义计算随机变量的方差; 4.利用方差的性质及常见分布的数字特征进行计算. 习题课（下）内容简介： 上页 下页 返回 上页 下页 返回 在下部分中, 在“例题分类解析”部分， 讲解: 6. 一维随机变量函数的数字特征; 7.二维随机变量及其函数的数字特征; 8. 相关性与独立性问题; 9. 有关数字特征的证明问题. 介绍了学习与研究方法. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 6. 一维随机变量函数的数字特征 分析 例4.11 设X表示10次独立重复射击命中目 标的次数, 每次射中目标的概率为0.4 , 则 的数学期望 ____. 解 , 得到 所以 本题涉及二项分布及函数的数字 特征. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 扩展 本题可扩展到求X(X+1)的数学期望 , 或考虑更为一般的形式 讲评 的灵活应用. 在解题中, 我们经常需要先计算 本题考查方差公式 进而算得方差D(X) .但有时, 如本例也 可倒过来, 借助常用分布的期望和方差来计 算某些随机变量函数的数字特征. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 例 4.12 设随机变量X服从参数为1的指数 分布, 求 分析 本题涉及一维随机变量函数的数 学期望的计算. 解 由题设可知X的概率密度 于是 因此, 上页 下页 返回 上页 下页 返回 讲评 本题主要考查随机变量函数的期望 公式 再次强调指出, 书写时不要出现类似 这样的低级错误. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 扩展 的 随机变量X的函数 数学期望为 使我们可以直接 计算Y的期望, 而不必求其分布. 7. 二维随机变量及其函数的数字特征 的分布律为 例4.13 设 和 是相互独立且服从同一分 布的两个随机变量, 已知 又设 上页 下页 返回 上页 下页 返回 (1) 写出二维随机变量 (X,Y)的分布律; (2) 求 分析 本题涉及二维离散随机变量的函数 的分布律和期望 . 解 (1) 下面实际计算一下 注意到 因此 上页 下页 返回 上页 下页 返回 类似地计算, 可得 的分布律如下表 3 3 2 1 2 1 Y X 0 0 0 上页 下页 返回 上页 下页 返回 所以 讲评 和 是两个 重要的随机变量函数. 对于离散型而言, 由独立 通过穷举法即可得到其分布律, 进而可得边缘 分布律及所需数字特征. (2) 由 的分布律可得关于X的 3 2 1 X 边缘分布律 上页 下页 返回 上页 下页 返回 扩展 本题可扩展成求 等. 和 例4.14 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 求 分析 由于概率密度中含有待定参数, 所以应首先根据 求得A. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 解 由 得 因此, 于是有 利用对称性,有 上页 下页 返回 上页 下页 返回 由于 所以, 协方差 上页 下页 返回 上页 下页 返回 在二维随机变量的数字特征计算 中,一定要注意二重积分的“有效积分区域”. 同时, 熟悉一些基本的积分结果将有助于提 高我们计算连续型随机变量数学期望的速度 和准确性. 如本题中的 扩展 讲评 本题比较全面地考查了二维随机 变量的数字特征. 例4.15 设X和Y是相互独立且服从正态 分布 上页 下页 返回 上页 下页 返回 的两个随机变量, 则 _____. 分析 注意到相互独立的正态随机变量的 线性函数仍服从正态分布, 得 X,Y的分布是确 解 记U=X-Y, 则 由此可知 上页 下页 返回 上页 下页 返回 讲评 类似本题这样的问题利用正态 随