Ch4-3协方差、相关系数及矩（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（大连理工·第三版）

第四章 随机变量的数字特征 4.3 协方差、相关系数及矩 第四章 随机变量的数字特征 内容摘要: 对于二维随机变量(X, Y), 我们除了讨论X与Y的数学期望和方差以外, 还需研究描述X与Y之间相互关系的数字特征. 有关这方面的数字特征有协方差、相关系数和各阶矩. 4.3 协方差、相关系数及矩 上页 下页 返回 上页 下页 返回 4.3.1 提出问题 1. 如何分析两个随机变量之间的 相互关系呢? 2. 如何刻画两个随机变量之间线性相关的程度呢? 4.3.2 预备知识 1. 数学期望, 方差, 标准差; 2. 线性函数, 矩阵及对称矩阵. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 定义1 量E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}称为 随机变量X与Y的协方差. 记为Cov(X, Y), 即 Cov(X, Y)= E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}. (3.1) 而 称为随机变量X与Y的相关系数. 注意: ρXY是一个无量纲的量. 4.3.3 提出概念 上页 下页 返回 上页 下页 返回 证 证明: (1) ρX*Y*=Cov(X*,Y*); (2) ρX*Y*=ρXY . 例4.3.1 设X *, Y *为X与Y的标准化 随机变量, 即 由对称性得到 E(Y*)=0, D(Y*)=1. 先证(1): 上页 下页 返回 上页 下页 返回 再证(2): =E{[X*-E(X*)][ Y*-E(Y*)]}=E(X*Y*) =ρXY . 上页 下页 返回 上页 下页 返回 4.3.4 分析性质 定理1 对于任意两个随机变量X和Y, 下列等式成立(设协方差存在): (1) Cov(X, X)=D(X). (2) Cov(X, Y)=Cov(Y, X). (3) 若X与Y相互独立, 则Cov (X,Y)=0. (4) Cov(X, a)=0, a为常数. 利用数学期望的性质知, 结论(1)，(2)，(3)和结论(4)成立. 1. 协方差的性质 上页 下页 返回 上页 下页 返回 (8) D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X, Y). (3.4) (5) Cov(X, Y)=E(X Y)-E(X)E(Y). (3.3) (6) Cov(aX, bY)=abCov(X, Y), a, b是常数. (7) Cov(X+Y, Z)=Cov(X, Z)+Cov(Y, Z). 证 证明(5): Cov(X,Y)=E{[X-E (X)][Y-E(Y)]} =E[XY-YE(X)-XE(Y)+E(X)E(Y)] =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y). 利用协方差和数学期望的性质, 易证结论(6),结论(7)和结论(8)成立. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 定理2 设随机变量X与Y的相关系数ρXY 存在, 则有 (1) ρXY = ρYX ; (2) |ρXY |≤1; (3) |ρXY |=1的充分必要条件是: 存在常数 a (a≠0), b, 使P{Y=aX+b}=1. 2. 相关系数的性质及实际意义 讲评 我们常利用结论(5) 计算协方差. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 证 结论(1)可由协方差的性质(2)推知. 现证结论(2). 设X *, Y *为X与Y的 标准化随机变量, 由例4.3.1和定理1中性质(8)得到 0≤D(X *±Y *)=D(X *)+D(Y *)±2Cov(X *, Y *) =D(X*)+D(Y*)±2ρX*Y* = 1+1±2ρXY =2(1±ρXY). 由此可得 上页 下页 返回 上页 下页 返回 由(2)可知D(X *±Y *)=2(1±ρXY), 可见,ρXY =±1的充分必要条件是 取 可知上式又等价于 P{Y=aX+b}=1. 再由 质(5)知, 上式等价于 及方差的性 再证结论(3). 上页 下页 返回 上页 下页 返回 (1) 从这个证明我们还