Ch4-2方差（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（大连理工·第三版）

第四章 随机变量的数字特征 4.2 方差 内容简介: 在一些实际问题中, 只需知道随机变量的某些特征, 随机变量的数学期望、方差以及各阶矩. 本节讨论随机变量的方差以及其性质, 利用其理论解决实际问题. 第四章 随机变量的数字特征 4.2 方差 上页 下页 返回 上页 下页 返回 4.2.1 提出问题 1. 射手的平均射中环数相等,如何 推断他们的射击水平? 4.2.2 预备知识 1.数学期望定义与计算公式, 独立性及其充要条件. 2.六种重要的分布, 指示函数. 2. 如何判断两台机床工作的精度, 或者工作的稳定性? 一批灯泡的质量如何认定? 上页 下页 返回 上页 下页 返回 4.2.3 问题分析 引例 有一批灯泡, 知其平均寿命是E(X)=1000(小时). 仅由这一指标我们还不能判定这批灯泡的质量好坏. 事实上, 有可能其中绝大部分灯泡的寿命都在950～1050小时; 也有可能其中约有一半是高质量的, 它们的寿命大约有1300小时. 另一半却是质量 上页 下页 返回 上页 下页 返回 很差的, 其寿命大约只有700小时. 为 了评 定这批灯泡质量的好坏, 还需进 一步考察灯泡寿命X与其均值E(X)=1000的偏离程度. 若偏离程度较小, 表示质量比较稳定. 从这个意义上来说, 我们认为质量较好. 由此可见, 研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 容易看到E{|X-E(X)|}能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度. 但由于上式带有绝对值而导致运算不方便. 为运算方便起见 , 通常是用量E{[X-E(X)]2} 来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度的. 用怎样的量来度量这个偏离程度呢? 上页 下页 返回 上页 下页 返回 4.2.4 建立理论 定义1 设X是一个随机变量, 若 E{[X-E(X)]2}存在, 则称 E{[X-E(X)]2} 为X的 方差, 记为D(X)或Var(X). 即 D(X)=Var(X)=E{[X-E(X)]2}. (2.1) 在应用上, 还引入与随机变量X具有相同 量纲的量 , 记为 , 称为标准差或 均方差. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 讲评 方差的实际意义是：随机变量 X的方差表达了X的取值与其数学 期望的偏离程度. 若X取值比较集中, 则D(X)较小; 反之, 若X取值比较分散, 则D(X)较大. 因此, D(X)是刻画X取值分散程度的一个量. 由定义知, 方差实际上就是随机变量X 的函数g(X)=(X- E(X))2的数学期望. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 (1) 若X是离散型随机变量, 分布律为 P{X=xk}=pk, k=1, 2,…, 则 关于离散型随机变量和连续型随机 变量方差的具体计算公式如下所述. 定理1 在相应方差存在的条件下, 上页 下页 返回 上页 下页 返回 (2) 若X是连续型随机变量, 其概率密度 为f(x), 则 (3) 方差常用下面公式进行计算： D(X)=E(X 2)-[E(X)]2. (2.4) D(X)=E{[X-E(X)]2}=E{X 2-2 XE(X)+[E(X)]2} = E(X 2) - 2E(X)E(X)+[E(X)]2 = E(X 2) - [E(X)]2. 证 结论 (1)和(2)由方差定义及函数期望计算公式即得. 关于结论(3), 上页 下页 返回 上页 下页 返回 4.2.5 理论应用 例4.2.1 深入解读第二节例4.1.1: 进一步分析该投资者如何投资为好呢? 从平均收益看, 投资房产收益大, 可比投资商业多收益0.1万元. 我们再来计算它们各自的方差： 解 D(X)=(11-4)21×0.2+(3-4)2×0.7+(-3-4)2×0.1=15.4, D(Y)=(6-3.9)2×0.2+(4-3.9)2×0.7+(-1-3.9)2×0.1=3.29 各自的标准差: 上页 下页 返回 上页 下页 返回 因为标准差(方差也一样)越大, 则说明收益的波动越大,