Ch4-1数学期望（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（大连理工·第三版）

第四章 随机变量的数字特征 4.1 数学期望 内容摘要: 利用与算术平均类比的方法, 我们提出了离散型随机变量和连续型随机变量的数学期望的概念, 研究了数学期望的运算性质, 探讨了随机变量函数的期望计算问题, 并对期望概念、期望性质、随机变量函数关系和实际问题等分别进行了应用. 第四章 随机变量的数字特征 4.1 数学期望 上页 下页 返回 上页 下页 返回 问题1： 气象分析中常考察某一 时段的雨量、湿度和日照等气象要素 的平均值和极端值以判定气象情况, 而不必掌握每一个气象变量的分布函数. 在这些用来作为显示随机变量分布特征的数字中, 最重要的就是随机变量的数学期望、方差以及各阶矩. 4.1.1 提出问题 上页 下页 返回 上页 下页 返回 算术平均 考90分成绩的有10人，考80分的有20人，考60分的有13人. 问：这33人的平均考试成绩 是多少分？ 4.1.2 预备知识 上页 下页 返回 上页 下页 返回 4.1.3 问题分析 数学期望的概念 引例 现考查一批5万只的灯泡. 为了评估灯泡的使用寿命(设每只灯泡的寿命是一个随机变量X (单位:小时)), 现从中随机抽取100只.测试结果如下: 频率 16 26 32 20 6 灯泡数(频数) 1250 1200 1150 1100 1050 寿命(小时) 上页 下页 返回 上页 下页 返回 可求得这100只灯泡的平均寿命为 可见，这100只灯泡的平均寿命为 1163小时. 可以认为，这5万只灯泡的寿命是1163小时. 这里，我们注意取值和取该值频率的乘积相加求和关系. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 1. 离散型随机变量的数学期望 定义1 设离散型随机变量X 的分布律为 P{X= }= , k=1,2,3,… 若级数 绝对收敛, 则称数项级数 的和为离散型随机变量X 的数学期望, 记为E(X). 即 4.1.4 提出概念 上页 下页 返回 上页 下页 返回 在实际试验中所得到的随机变量 观察值的算术平均与数学期望值有密 切联系. 设在n次独立试验中, 随机变 量X 取xk的频数为nk , 频率 , 则可以计算出X观察值的算术平均值为 上页 下页 返回 上页 下页 返回 此式实际上是一种加权算术平均， 把它与(1.1)式比较, 它与X 的理论分布 的数学期望E(X)的计算方法是相似的, 只是用频率代替了概率. 随着试验次数n的增加, 频率fn(xk)会越来越接近于概率pk(此性质参见第五章伯努利大数定律), 故 的取值也会愈接近E(X). 因此, 我们也把数学期望E(X)称为X的均值. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 2. 连续型随机变量的数学期望 类似于(1.1)式, 我们可以由此给出 连续型随机变量的数学期望的定义. 定义2 设连续型随机变量X的概率密度函数为f (x), 若积分 绝对收敛, 则称积分 的值为连续型随机变量X的数学期望, 记为E(X). 即 E(X)= . (1.3) 数学期望简称期望, 又称为均值. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 例4.1.1 甲某人有一笔资金，可投入两个项目：房产和商业，其收益都与市场状态有关.若把未来市场划分为好、中、差三个等级，其发生的概率分别为0.2，0.7和0.1. 通过调查，该投资者认为投资房产的收益X(单位：万元)和投资商业的收益Y(单位：万元)的分布分别为 4.1.5 应用一 上页 下页 返回 上页 下页 返回 X 11 3 -3 P 0.2 0.7 0.1 Y 6 4 -1 P 0.2 0.7 0.1 请问该投资者如何投资为好 ? 我们先考察数学期望(平均收益)： 解 E(X)=11×0.2+3×0.7+(-3)×0.1=4.0(万元), E(Y)=6×0.2+4×0.7+(-1)×0.1=3.9(万元).