Ch3习题课下（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（大连理工·第三版）

第三章 多维随机变量及其分布 习题课 （下） 习题课分为上、下两部分. 在上部分中, 我们归纳了第三章的概念、理论与方法等内容，并对关键而又容易出错的地方作了讲评. 在“例题分类解析”部分,讲解了：1. 二维随机变量及其分布的概念及性质；2. 二维离散型随机变量的分布律；3. 二维连续型随机变量的分布函数；4. 边缘分布律与条件分布律. 习题课（下）内容简介： 上页 下页 返回 上页 下页 返回 在下部分中, 在“例题分类解析”部分，讲解：5. 随机变量落入平面区域 内的概率计算；6. 两个随机变量的独立性的判定；7. 两个随机变量函数的概率分布. 三、学习与研究方法 上页 下页 返回 上页 下页 返回 5. 随机变量落入平面区域内的概率 例7 已知随机变量X和Y的联合概率密度为 求P{X<Y}. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 分析 本题涉及由概率密度求概率的计算公式 解 由概率密度求概率的计算公式, 可得 上页 下页 返回 上页 下页 返回 本题考查随机变量关系式的概率的 计算. 随机变量关系式X<Y对应积分区域x<y; 在积分区域x<y和f(x,y)取非零值的区域x>0,y>0的交集上计算关于概率密度的二重积分 讲评 扩展 计算 质上就是考虑在适当的区域上关于概率密度的二重积分.这里适当的区域是指X与Y的关系式确定的区域和Df的交集,其中Df表示f(x,y)取非零值的区域. 这类概率,本 上页 下页 返回 上页 下页 返回 用此题的方法计算概率P{2X+1<Y}, P{X+Y<1}. 7. 两个随机变量的独立性的例子 例8 设(X, Y)的分布律为 问当α, β取何值时, X与Y相互独立? β α (2,3) (2,2) (2,1) (1,3) (1,2) (1,1) (X, Y) Pij 练习: 上页 下页 返回 上页 下页 返回 分析: 首先, 由分布律求得边缘分布律 解 1 β+ α+ p.j +α+β β α 2 1 pi. 3 2 1 Y X 对所有的i, j都要成立. 因此又涉及计算边缘 分布律. 离散型随机变量的独立性需要考虑 充要条件 上页 下页 返回 上页 下页 返回 故可得方程组 解得 pij= pi. p.j (i=1,2; j=1,2,3). 由于边缘分布满足 相互独立的等价条件为 , 又X, Y 上页 下页 返回 上页 下页 返回 本题考查了离散型随机变量的独立性和边缘分布律的性质. 讲评 经检验,当 j=1,2,3均有pij= pi. p.j成立.因此当 X与Y相互独立. 时,X 时,对于所有的i=1,2; 扩展 的概念. 强调指出: 这里检验是必须的, 因为α,β仅根据两个方程解得.对于离散型随机 变量,其独立性就意味着 随机变量的独立性是一个非常重要 上页 下页 返回 上页 下页 返回 要对所有的i, j都要成立. 例9 一电子仪器由两个部件构成, X和Y分别表示两个部件的寿命(单位:千小时), 已知X和Y的联合分布函数为 上页 下页 返回 上页 下页 返回 由于题设给出的是联合分布函数, 所以 独立性只需检验 因此，需要计算X和Y的分布函数. 是否成立. 问X和Y是否独立? (2) 求两个部件的寿命都超过100 小时的概率α. 分析 解 (1) X和Y的分布函数分别为 上页 下页 返回 上页 下页 返回 由于F(x,y)=FX(x)FY(y), 所以X 和Y 相互独立 . (2) 本题考查了连续型随机变量的独 立性的判定和对立事件的概率计算问题. 讲评 上页 下页 返回 上页 下页 返回 判定连续型随机变量的 独立性可采用检验分布函数关系式 F(x,y)=FX(x)FY(y) 是否成立, 也可以采用检验概率密度关系式 f(x,y)=fX(x)fY(y) 是否成立. 本例也可考虑先计算联合概率密度f(x,y), 而后计算边缘概率密度的方法解决. 扩展 上页 下页 返回 上页 下页 返回 例10 设相互独立的两个随机变量X和Y 具有同一分