Ch3-4两个随机变量函数的分布（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（大连理工·第三版）

3.4 两个随机变量函数的分布 第三章 多维随机变量及其分布 内容简介: 已经讨论过一个随机变量函数的分布问题, 本节讨论两个随机变量函数的概率分布. 两个随机变量函数的概率分布有许多的实际应用, 其各个例题的处理方法具有代表性. 第三章 多维随机变量及其分布 3.4 两个随机变量函数的分布 上页 下页 返回 上页 下页 返回 3.4.1 提出问题 (1) 设X和Y是两个相互独立的随机变量, 它们都服从标准正态分布 , Z = 2X + Y 概率 分布怎样 ? (2) 设X和Y是两个相互独立的随机变量, 它们的极大随机变量、极小随机变量的概率分布怎样 ？ 上页 下页 返回 上页 下页 返回 3.4.2 预备知识 1. 一个随机变量函数的概率分布问题，二维随机变量的分布函数与概率密度的关系； 2. 随机事件和的概率加法公式，随机变量独立的充分必要条件，反常二重积分计算，卷积公式 . 上页 下页 返回 上页 下页 返回 3.4.3 方法应用 在2.5节中, 已经讨论过一个随机变量函数的分布问题, 本节讨论两个随机变量函数的分布, 我们只就下面几个具体的函数关系来讨论, 其中的处理方法具有普遍的代表性. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 例3.4.1 设离散型随机变量(X,Y)的分布律为 求随机变量Z = X + Y的分布律. 解 Z = X + Y的可能取值为0, 1, 2和3. 1. 随机变量和的分布: Z = X + Y (1) 离散型随机变量情形 X Y 0 1 2 0 1/4 1/6 1/8 1 1/4 1/8 1/12 上页 下页 返回 上页 下页 返回 P{Z=0}=P{X=0, Y=0}=1/4, 因此, Z = X + Y的表格形式的分布律为 Z=X+Y 0 1 2 3 PZ 1/4 5/12 1/4 1/12 P{Z=1}=P{X=1, Y=0}+P{ X=0, Y=1}=1/4+1/6=5/12, P{Z=2}=P{X=2, Y=0}+ P{ X=1, Y=1}=1/8+1/8=1/4, P{Z=3}=P{X=2, Y=1}=1/12. Z取各值的概率分别为 上页 下页 返回 上页 下页 返回 对于非负整数i, {Z=i}={X+Y=i}可按下列方式分解为若干个两两互不相容的事件之和: 证 Z = X + Y的可能取值为0, 1, 2, …. 例3.4.2 设X, Y是相互独立的随机变量, 其分布律分别为 P{X=k}=p(k), k=0,1,2,…, P{Y=r}=q(r), r=0,1,2,…. 证明随机变量Z=X+Y的分布律为 P{Z=i}= 上页 下页 返回 上页 下页 返回 P{X=k, Y=i-k}=P{ X=k}P{ Y=i-k} =p(k)q(i-k), k=0,1,2,…, i. 又由X, Y的独立性(3.3.1)式知 , {Z=i}={X+Y=i} ={X=0, Y=i}∪{X=1, Y=i-1}∪ …∪{X=i, Y=0}. 因此, 上页 下页 返回 上页 下页 返回 讲评 例3.4.1和例3.4.2这种解决 问题的方法具有一般性. 用类似的方 法同样可以求随机变量差X-Y, 随机变量积XY, 极大随机变量max{X,Y}和极小随机变量min{X,Y}等的分布律. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 (2) 连续型随机变量情形 设(X, Y)的概率密度为f (x, y),则Z = X + Y的分布函数为(参见图3-5) 固定z和y, 对上述积分 作变量变换, 图3-5 积分区域G: x+y≤z 上页 下页 返回 上页 下页 返回 令x= u-y, 得 于是 由概率密度的定义, 即得Z=X+Y的概率密度 上页 下页 返回 上页 下页 返回 由X, Y的对称性, fZ (z)又可写成 (4.1)和(4.2)式是两个随机变量和Z=X+Y的概率密度的一般计算公式. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 特别地,当X和Y相互独立时,设(X,Y)关于 X,Y的边缘概率密度分别为fX (x),fY (y), 则(3.4.1)和(3.4.2)式