Ch3-3随机变量的独立性（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（大连理工·第三版）

3.3 随机变量的独立性 第三章 多维随机变量及其分布 内容简介:随机变量的独立性是研究两个或几个随机变量之间的影响关系. 独立性是概率论与数理统计中的一个很重要的概念，同时也是非常实用的方法, 它是由随机事件的相互独立性引申而来的. 我们重点学习如何判定独立性. 第三章 多维随机变量及其分布 3.3 随机变量的独立性 上页 下页 返回 上页 下页 返回 3.3.1 提出问题 (1) 联合分布函数和边缘分布函数 在X与Y独立的情况下关系如何？一般情况下关系如何? (2) 离散型随机变量与连续型随机变量独立的充要条件是什么？ 3.3.2 预备知识 1.事件的独立性,联合分布律与联合概率密度,边缘分布律与边缘概律密度； 2.充分必要条件, n重积分及其反常积 表示. 分 上页 下页 返回 上页 下页 返回 3.3.3 建立理论与方法应用 随机变量的独立性是概率论与数理统计中的一个很重要的概念,它是由随机事件的相互独立性引申而来的.我们知道,两个事件A与B是相互独立的,当且仅当它们满足 P(AB)=P(A)P(B). 由此, 可引出两个随机变量的相互独立性. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 设X,Y为两个随机变量,于是{X≤x}, {Y≤y}为两个随机事件, 则两事件{X≤x},{Y≤y}相互独立,相当于下式成立 P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x} P{Y≤y}, 或写成分布函数形 F(x,y)=FX(x)FY(y). 定义1 设X,Y是两个随机变量, 其联合分布函数为F(x, y). 若 F(x, y)= FX(x)FY(y), 则称随机变量X与Y相互独立. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 具体地, 对离散型与连续型随机变量的 独立性,可分别用分布律与概率密度描述. 定理1 (1)离散型随机变量X与Y相互独立 的充要条件是对于(X, Y)的所有可能取值(xi, yj), 有 P{X= xi,Y= yj}= P{X= xi}P{Y= yj}, (3.1) 其中i j=1,2,…. (2) 连续型随机变量X与Y相互独立的充要条件是 f (x, y)=fX (x)fY(y) (3.2) 几乎处处成立. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 例3.3.1 设随机变量(X, Y)的分布律及边缘 分布律如下表： X Y 0 1 p.j 1 2 pi. 问X与Y是否相互独立？ P{X=1, Y=1}= = P{X=1}P{Y=1}, P{X=0, Y=1}= = P{X=0}P{Y=1}, 解 因为 P{X=0, Y=2}= = P{X=0}P{Y=2}, 上页 下页 返回 上页 下页 返回 因此 X, Y是相互独立的. P{X=1, Y=2}= = P{X=1}P{Y=2}, 讲评 此题是离散型随机变量的独立性问题. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 例3.3.2 继续解读例3.2.2：设二维随机变量(X, Y)的概率密度为 问连续型随机变量X与Y是否相互独立? 解 由例3.2.2已知关于Y的边缘概率密度为 上页 下页 返回 上页 下页 返回 由x和y的对称性，得到关于X的边缘概率密度为 fX (x) fY (y)≠f(x,y). 可见, 得到以下的关系: 因此, X与Y不相互独立. 讲评 此题是连续型随机变量的独立性问题. 在第四章的不相关问题中还要用此题. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 例3.3.3 设(X,Y)是二维正态随机变量, 它的概率密度为 试证X与Y相互独立的充要条件是ρ = 0. 证 由例3.1.6知道,边缘概率密度fX(x)和fY(y)的乘积为 上页 下页 返回 上页 下页 返回 反之, 如果X和Y相互独立,由于f (x,y), fX(x), fY(y)都是连续函数, 故对于所有的x和y有 特别地, 令x =μ1, y =μ2, 由上述等式得到 从而ρ = 0. 因此, 如果ρ = 0, 则对于所有的 实数x和y, 有 f (x, y)=