Ch3-2条件分布（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（大连理工·第三版）

3.2 条件分布 第三章 多维随机变量及其分布 内容简介: 考察二维随机变量(X,Y)时, 常常需要考虑已知其中一个随机变量取得某值的条件下, 求另一个随机变量取值的概率. 为此, 我们由随机事件的条件概率很自然地引出条件概率分布的概念. 第三章 多维随机变量及其分布 3.2 条件分布 上页 下页 返回 上页 下页 返回 3.2.1 提出问题 随机事件有条件概率问题，怎样研究随机变量的条件分布问题？ 不同的工作时间，会有不同的工作效率.多大的工作时间才会有最大的工作效率呢？ 上页 下页 返回 上页 下页 返回 3.2.2 预备知识 1.事件的条件概率计算公式，拉格朗 日中值公式，概率密度与分布函数关系； 2.事件的独立性，联合分布率与联合 概率密度，边缘分布率与边缘概率密度. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 分析定义： 设A, B为随机试验E的两个事件, 且P(A)>0, 则称 P(B|A)= 为在事件A发生的条件下事件B发生的条件 概率. 3.2.3 建立理论与方法应用 上页 下页 返回 上页 下页 返回 1. 离散型随机变量的条件分布律 设(X, Y )是一个二维离散型随机变量, 其 分布律为 (X, Y)关于X和Y的边缘分布律分别为 我们由事件的条件概率给出随机变量的 条件概率分布的概念. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 定义1 对于固定的j, 若 , 则称 为在Y = yj条件下随机变量X的条件分布律. 对于固定的i,若 , 则称 为在X = xi条件下随机变量Y的条件分布律. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 例3.2.1 设某工厂每天工作时间X 可分为6小时、8小时、10小时和12小 时, 工人的工作效率Y 可以按50%、70%、90%分为三类. 已知(X, Y )的概率分布如下： X Y 6 8 10 12 0.5 0.014 0.036 0.058 0.072 0.7 0.036 0.216 0.180 0.043 0.9 0.072 0.180 0.079 0.014 如果以工作效 率不低于70%的概 率越大越好作为评 判标准,问每天工作 时间以几个小时为 最好？ 上页 下页 返回 上页 下页 返回 解 先求 (X, Y)的边缘分布律: X 6 8 10 12 pi· 0.122 0.432 0.317 0.129 下面分别考虑X等于6,8,10,12时Y的条件分布, 即 上页 下页 返回 上页 下页 返回 计算可得 Y 0.5 0.7 0.9 P{Y=yi|X=6} 0.115 0.295 0.590 P{Y=yi|X=8} 0.083 0.500 0.417 P{Y=yi|X=10} 0.183 0.568 0.249 P{Y=yi|X=12} 0.558 0.333 0.109 从表中可以看出P{Y≥0.7│X=xi}的值中, 当xi=8时, 概率 =1-0.083=0.917 最大, 即每天工作8小时, 工作效率达到最优. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 2.连续型随机变量的条件分布 对二维连续型随机变量,我们也想定义分布函数P{X≤x|Y=y},但是, 由于P{Y=y}=0, 故不能像离散型随机变量那样简单地定义了.自然想到:设A为某一事件,Y为随机变量, 其分布函数为FY(y), 设P{ y < Y≤y +ε}>0 (ε>0), 则由条件概率公式可知 上页 下页 返回 上页 下页 返回 如果当ε→0+时上式极限存在, 则称 此极限为事件A在条件Y= y下发生的 条件概率, 即 设 X为随机变量, 取事件A为{X≤x}, 则称 为随机变量X在条件Y= y下的条件 分布函数, 记作 上页 下页 返回 上页 下页 返回 设(X,Y)为二维连续型随机变量,分布函 数为F(x, y), 其概率密度为f (x, y)且连续, 则 由拉格朗日中值定理, 可知 上页 下页 返回 上页 下页 返回 Y= y下X的条件概率密度, 记为 则上式就是在给定条件Y= y下, 随机变量X的 条件分布函数. 而 称为在给