Ch3-1二维随机变量及其边缘分布（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（大连理工·第三版）

3.1 二维随机变量及其边缘分布 第三章 多维随机变量及其分布 内容简介: 在很多随机现象中, 进行一次随机试验通常需要同时考察几个随机变量. 一般来说, 这些随机变量之间存在着某种联系, 因而既需要单独研究每个随机变量, 又需要把它们作为一个整体来研究. 第三章 多维随机变量及其分布 3.1 二维随机变量及其边缘分布 上页 下页 返回 上页 下页 返回 3.1 提出问题 发射一枚炮弹, 需要同时研究弹着 点的横坐标和纵坐标; 考察某地区学龄前儿童的发育情况时，要同时考察身高和体重等多个因素. 怎样来研究这几个随机因素呢？ 3.2 预备知识 1.差事件概率计算； 2.二元函数，反常二重积分, 二重积分及其几何意义，二重积分计算，分段函数的二重积分计算. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 在很多随机现象中, 进行一个随机 试验通常需要同时考察几个随机变量. 例如, 发射一枚炮弹, 需要同时研究弹着点的几个坐标; 研究市场供给模型时, 需要同时考虑商品供给量、消费者收入和市场价格三个因素等等. 一般来说, 这些随机变量之间又存在着某种联系, 因而既需要单独研究每个随机变量, 又需要把它们作为一个整体(即向量)来研究. 3.3 提出概念 上页 下页 返回 上页 下页 返回 定义1 设E是一个随机试验, 它的样本空间是Ω={ω}, X1=X1(ω), X2=X2(ω),…, Xn = Xn (ω)是定义在Ω上的随机变量, 由它们构成的一个n维随机向量（X1,X2,…, Xn)叫做 n维随机向量或n维随机变量. 例3.1.1 设靶心为直角坐标系原点, 弹着点离靶心距离不超过1的随机事件可表示为 {(X, Y) │ X2+Y2≤1}. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 例3.1.2 同时抛一枚5分硬币和一枚 2分硬币,设 î í ì = 0, 1, 2分硬币正面朝上, Y î í ì = 0, 5分硬币反面朝上. 1, 5分硬币正面朝上, X 2分硬币反面朝上. 则(X,Y)是一个二维随机变量，描述了掷5分硬币和2分硬币的各种可能结果 . 上页 下页 返回 上页 下页 返回 对于n维随机向量, 其中每一个 分量是一个一维随机变量, 我们可以 单独地研究它. 除此以外, 各分量之间又有相互联系, 在许多问题中, 这种相互联系是更重要的. 我们着重研究二维情形, 其中大部分结果可以推广到任意n维情形. 1. 二维随机变量的分布函数及其边缘 分布函数 上页 下页 返回 上页 下页 返回 类似于一维随机变量的分布函数, 可以定义二维随机变量的“分布函数”. F(x, y)= P{(X≤x)∩(Y≤y)}=P{X≤x, Y≤y} (1.1) 定义2 设(X, Y)是二维随机变量, 对任意实数x, y, 二元函数 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数, 或称为 随机变量X和Y的联合分布函数. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 如果将二维随机变量(X, Y)看成是 平面上随机点的坐标, 那么分布函数 F(x, y)=P{X≤x, Y≤y} (其中(x, y)∈R2)表示随机点(X, Y)落在以点(x, y)为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率. 见图3-1. 图3-1 {X≤x,Y≤y}的几何意义 上页 下页 返回 上页 下页 返回 依照上述几何解释和概率的可加性, 对随机点(X, Y)落入矩形区域I: x1<x≤x2, y1<y≤y2的概率, 可以直接按照下面的运算公式计算: P{(X, Y)∈I}= F(x2, y2)-F(x1, y2)-F(x2, y1) +F(x1, y1) (1.2) 其几何关系见图3-2. 图3-2 {(X, Y)∈I}的几何意义 上页 下页 返回 上页 下页 返回 (1) F(x, y)是变量x和 y的不减函数, 即对于任意固定的y, 当x2>x1时, F(x2, y)≥F(x1, y); 对于任意固定的x, 当y2> y1时, F(x, y2)≥F(x, y1). (2) F(x, y)对每个变量右连续, 即 F(x, y)= F(x+0, y), F(x, y) = F(x, y+0), 也就是F(x, y)关于x右连续, 关