Ch2习题课下（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（大连理工·第三版）

第二章 随机变量及其分布 习题课（下） 习题课二分为上、下两部分. 在下部分中, 在“例题分类解析”部分，讲解了：3. 连续型随机变量概率密度及其分布问题；4. 关于正态分布的应用问题；5. 随机变量的分布函数问题；6. 随机变量函数的概率分布问题. 三、学习与研究方法. 在上部分中, 我们归纳了第二章的概念、理论与方法等内容，并对关键而又容易出错的地方作了讲评. 在“例题分类解析”部分，讲解了：1. 离散型随机变量的分布律的计算问题；2. 根据概率分布求解概率的问题. 习题课（下）内容简介： 上页 下页 返回 上页 下页 返回 3. 连续型随机变量概率密度及其分布问题 例8 确定常数c, 使如下函数 成为某个随机变量的概率密度. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 本题涉及到连续型随机变量的概率密度的性质——非负性和归一性. 逻辑上是应用定理: 如果某函数满足非负性和归一性, 那么它可以作为某个随机变量的概率密度. 分析 解 令 得到 c=1. 显然, 非负性g(x)≥0(x∈(-∞,+∞))满足. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 所以, 函数g(x)在c=1条件下可以作为某 个随机变量的概率密度. 讲解 度, 用性质f(x)≥0(x∈(-∞,+∞))和 若f(x)为连续型随机变量X的概率密 可确定连续型随机变量X的概率密度f(x)中的待定参数. 这是求连续型随机变量X的概率密度f(x)中未知参数的基本方法. 需要注意本题的要求和逻辑关系. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 利用概率密度的性质求连续型 随机变量X的概率密度f(x)中的未知参数 是连续型随机变量X的概率计算中的重要问题, 也是我们经常考查的重点之一. 这是因为, 在实际问题中, 我们往往是先知道随机变量的分布类型, 而分布类型中的参数需要我们利用概率密度的性质来确定. 扩展 上页 下页 返回 上页 下页 返回 确定了参数, 我们就完全掌握了这个概率分布; 进而我们可以利用这个概率 分布计算概率、分析性质、预测与控制未来发展趋势等因此，在概率统计应用分析中，经常要求我们求解未知参数，其原因就在于此. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 本题涉及到利用判别式Δ=b2-4ac,求含Y的不等式；涉及已知分布求概率的问题. 利用均匀分布的概率密度即可解决. 例9 设随机变量Y服从均匀分布U(-5,5), 求关于x的方程 的概率. 有实根 分析 上页 下页 返回 上页 下页 返回 解 Y的概率密度 方程有实根的充要条件是 Y≥4或Y≤-1. 解得 上页 下页 返回 上页 下页 返回 于是有{方程有实根}={Y≥4}∪{Y≤-1}, 故方程有 实根的概率为 P{Y≥4}+P{Y≤-1} 求连续型随机变量的有关概率问题经常用到下列公式: 讲评 上页 下页 返回 上页 下页 返回 (1) (注意:“<”换成“≤”,公式仍成立); (2) P{X=a}=0. 在题设条件方面, 如果换成离散型随机变量的分布律同样可以求方程有实根的概率; 也可以改变结论：求方程没有实根的概率. 扩展 上页 下页 返回 上页 下页 返回 4. 关于正态分布的应用问题 例10 用正态分布估计高考录取最低分. 某市有9万名高中毕业生参加高考, 招生计划有5.4万名被各类高校录取. 已知满分为600分, 540分以上者有2 025人, 360分以下者有13 500人. 试估计高考录取最低分. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 考生的高考成绩为随机变量X, 它一般会受先天遗传、后天努力、心理 素质、考试期间身体状态、求学期间班级学风等诸多随机因素的影响, 而各因素的影响又是有限的, 但正负影响会相互抵消, 故可以认为X服从正态分布. 分析 上页 下页 返回 上页 下页 返回 解 设学生高考成绩 , 由题设有 P{X≤540}=1-P{X>540}=1- =0.977 5. 得到 P{X≤540}= 又由于 P{X<360}= 于是 上页 下页 返回 上页 下页 返回 反查正态分布表, 得 解上述方程组,得 μ≈421, ≈58, 所以 N(421. ). 已知录取率 . 设录取最低分为a,