Ch2习题课上（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（大连理工·第三版）

第二章 随机变量及其分布 习题课（上） 习题课分为上、下两部分. 在上部分中, 我们归纳了第二章的概念、理论与方法等内容，并对关键而又容易出错的地方作了讲评. 在“例题分类解析”部分，讲解了：1. 离散型随机变量的分布律的计算问题；2. 根据概率分布求解概率的问题. 在下部分中, 在“例题分类解析”部分，讲解了：3. 连续型随机变量概率密度及其分布问题；4. 关于正态分布的应用问题；5. 随机变量的分布函数问题；6. 随机变量函数的概率分布问题. 三、学习与研究方法. 习题课（上）内容简介： 上页 下页 返回 上页 下页 返回 在第一章中, 我们研究了随机试验 的结果及其结果出现的可能性大小等问题, 也就是研究了事件及其概率问题. 为了充分利用数学工具研究事件及其概率, 在本章开始引入了随机变量这一基本概念. 任何事件A都可以通过随机变量X来描述, 因此, 研究事件及其概率问题就转化为研究随机变量的概率分布问题. 章内容简介： 上页 下页 返回 上页 下页 返回 对于离散型随机变量X, 首先, 我们研究了X的概率分布, 即X取什么值以及取 这些值的概率大小, 其中重点研究了三种常用的离散型随机变量服从的两点分布、二项分布和泊松分布. 其次,换另外一个角度, 给出了随机变量的分布函数定义及其求法. 再次, 考虑了离散型随机变量X的函数g(X)的概率分布问题. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 对于连续型随机变量X, 同离散型随机 变量X并行研究, 先后讨论了概率密度 函数、分布函数和随机变量的函数的概率分布问题, 其中重点研究了三种常用的连续型随机变量的分布——均匀分布、指数分布和正态分布. 本章重点： 1. 离散型随机变量的概率分布及其性质; 2. 随机变量的分布函数及其性质; 上页 下页 返回 上页 下页 返回 本章难点： 1. 离散型随机变量分布律的有关计算; 2. 连续型随机变量的概率密度的有关计算; 3. 随机变量的分布函数的有关运算; 4. 随机变量函数的概率分布. 3. 连续型随机变量的概率密度及其性质; 4. 随机变量函数的分布. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 　　 一、主要内容归纳 1. 离散型随机变量的分布律 设随机变量X一切可能的取值为x1, x2,…, xk,…,且X取各个值的概率为 则称X是离散型随机变量, 称上式为随机变量X的概率函数或概率分布, 亦简称分布律. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 性质: 这两条性质常用来判断一个数列{pk}是否是某个离散型随机变量的概率分布, 或者确定概率分布中的待定参数. 只有pk同时满足上述两条性质, 数列{pk}才能成为某个离散 型随机变量的分布律. (1) pk≥0,k=1,2,…; 讲评 上页 下页 返回 上页 下页 返回 2. 伯努利概型 . P{X=k}= pkqn-k, k=0,1,2,…,n. 一般地, 设在一次试验中我们只 考虑两个互逆的结果: A或 设我们重复地进行n次独立试验,每次试验事件A出现的概率都是p, 发生的概率则是q=1-p. 这样的n次独立重复试验称作n重伯努利试验, 简称伯努利试验或伯努利概型. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 n重伯努利试验是一种很重要的 数学模型. 它有广泛的应用, 是研究与应用 最多的模型之一. 讲评 3. 分布函数 设X是一个随机变量(包括离散型及非离 散型). x是任意实数, 定义 F(x)= P{X≤x}, -∞ < x < +∞. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 分布函数的性质： (1) 0≤F(x)≤1； (2) F(x)单调不减, 即当x1<x2时, F(x1)≤F(x2) ； (3) F(-∞)= , F(+∞)= 称F(x)为随机变量X的分布函数, 有时也记为FX (x). 由分布函数的定义知, 若F(x)是X的分 布函数, 则有 P{a< X≤b}=F(b)-F(a). 上页 下页 返回 上页 下页 返回 (4) F(x)右连续, 即对任意实数x, 有F(x+0)=F(x)； (5) 对每个x0, 都有P{X=x0}=F(x0)-F(x0-0). 定义中的{X≤x}表示事件“随机变量X取值不大于x”, 所以随机变量的分布 函数F(x