Ch2-5随机变量函数的分布（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（大连理工·第三版）

第二章 随机变量及其分布 2.5 随机变量函数的分布 内容简介:已知随机变量X的分布, 又设随机变量X的函数为Y=g(X) (其中y=g(x)是连续函数), 如何“由X的分布求出函数Y的分布”, 这个问题无论在实际问题中还是在理论研究上都是很重要的. 在本节，我们通过例题，分离散型随机变量和连续型随机变量情形，求解随机变量函数的概率分布问题. 第二章 随机变量及其分布 2.5 随机变量函数的分布 上页 下页 返回 上页 下页 返回 2.5.1 提出问题 1. 已知t=t0时刻噪声电压V的分布, 如何求功率 W= (R为电阻)的概率分布？ 怎样来研究它？ 2.5.2 预备知识 1. 单调函数与非单调函数的性质； 2.随机事件和与差的等式，分布函数与概率密度的关系. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 在实际问题中, 人们常常对随机变 量函数的概率问题更感兴趣. 例如, 已知圆轴截面直径 d 的分布, 求截面面积A= 的分布, 这里A是随机变量d的函数. 一般地, 设随机变量X的分布已知, 随机变量Y=g(X) (设g是连续函数), 如何“由X的分布求出Y的分布”, 这个问题无论在实际问题中还是在理论上都是很重要的. 2.5.3 理论方法 上页 下页 返回 上页 下页 返回 (1) 当 X取值-1,0,1时, Y对应取值1,3,5, 而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事件, 两者具有相同的概率. 1.离散型随机变量函数的分布 例2.5.1 设随机变量X的分布律为 求（1）随机变量Y= 2X +3的概率分布. 解 所以, 随机变量Y的概率分布为 X -1 0 1 pk 0.3 0.5 0.2 （2）随机变量Y=X2的概率分布. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 已知随机变量X的分布律为 X -1 0 1 pk 0.3 0.5 0.2 则函数随机变量Y= 2X +3的概率分布 Y 1 3 5 pk 0.3 0.5 0.2 上页 下页 返回 上页 下页 返回 (2) 若随机变量X服从分布律 X -1 0 1 pk 0.3 0.5 0.2 则Y=X2的概率分布为 Y 0 1 pk 0.5 0.5 这是因为 P{Y=0}=P{X2=0}=P{X=0}=0.5, P{Y=1}=P{X=-1}∪{X=1} = P{X=-1}+P {X=1} =0.3+0.2=0.5. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 一般地, 若Y =g(X)是离散型随机变量X的概率函数, X服从的分布律为 X x1 x2 … xk … pk p1 p2 … pk … 则随机变量X的函数Y=g(X)服从分布律 Y g(x1) g(x2) … g(xk) … pk p1 p2 … pk … 如果g(x)为非严格单调函数, 则g(xk)中有一些可能是相同的, 把它们对应的概率作适当并项即可. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 讲评 例2.5.1中的函数Y= 2X +3为单调 函数, 而例2中的函数Y=X2不是单调函 数. 要注意处理Y取值的不同情形. 2. 连续型随机变量函数的概率分布 例2.5.2 设设随机变量X具有概率密度 fX(x)(-∞<x<+∞).求： （1）随机变量Y= 2X +3的概率密度. （2）随机变量Y=X2的概率密度fY(y). 上页 下页 返回 上页 下页 返回 解 设X, Y的分布函数为FX(x), FY(y). (1) Y=2X+3的分布函数： 于是随机变量Y=2X+3的概率密度 上页 下页 返回 上页 下页 返回 注意到 Y = X 2≥0, 所以, 当y < 0时, FY (y)=P{Y≤y}=P{X2≤y}=0. 当y ≥ 0时, 有 FY (y)=P{Y≤y} = P{X 2≤y} (2) Y=X2的分布函数： 上页 下页 返回 上页 下页 返回 对y求导, 可得随机变量Y的概率密度 上页 下页 返回 上页 下页 返回 特别地, 已知X~N(0,1), 其概率密度为