Ch2-4连续型随机变量及其概率密度函数（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（大连理工·第三版）

第二章 随机变量及其分布 2.4 连续型随机变量 及其概率密度函数 内容简介:对于连续型随机变量X, 同离散型随机变量X并行研究, 先后讨论概率密度、分布函数及其二者关系问题, 其中重点研究三种常用的连续型随机变量的分布——均匀分布、指数分布和正态分布. 重点学习正态分布的理论. 第二章 随机变量及其分布 2.4 连续型随机变量及其概率密度函数 上页 下页 返回 上页 下页 返回 2.4.1 提出问题 若随机变量X的所有的可能取值充 满一个区间, 那么就不能像离散型随机 变量那样, 以指定它取每个值的概率的方式给出其概率分布, 怎样来研究这种情形呢？ 2.4.2 预备知识 1. 反常积分，原函数，定积分的几何 意义，定积分与反常积分计算; 2.奇偶函数，单调增函数，分布函数连续性. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 2.4.3 提出概念 连续型随机变量X的所有可能取值 充满一个区间, 对这种类型的随机变量, 不能像离散型随机变量那样, 以指定它取每个值概率的方式去给出其概率分布, 而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式. 下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 1.连续型随机变量的概率密度函数 定义 对于随机变量X , 如果存在一个非负可积函数 f(x), 使得对于任意的实数x, 有 F(x)=P{-∞<X≤x}= 则称X为连续型随机变量, 其中函数f(x)称为X的概率密度函数, 简称为概率密度. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 由定义可以看出: 连续型分布函数F(x)是处处连续的, 而一般定义(2.3.1)得到的 分布函数F(x)仅是右连续的. 几何意义见下图. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 概率密度f (x)的性质： (1) f (x)≥0, x∈(-∞, +∞). (4) 若f (x)在点x处连续, 则有 (5) 连续型随机变量取任一指定值的概率为0, 即P{X=a}=0, a为任一指定值. (3) 对于任意实数x1, x2(x1≤x2), P{ x1<X≤x2}=F(x2)-F(x1)= 上页 下页 返回 上页 下页 返回 讲评 如果任意一个非负实函数f(x) 满足以上两条性质(1)、(2), 则f(x)就是 一个随机变量的概率密度. 这两条性质是判定一个函数f(x)是否为某个随机变量X的概率密度函数的充要条件. 由性质(2)知道, 介于曲线y = f (x) 与Ox轴之间的面积等于1. 见(图2-7). 上页 下页 返回 上页 下页 返回 由性质(3)知道, X落在区间(x1, x2]上的 概率P{ x1<X≤x2}等于区间(x1, x2]上曲线 y = f (x)之下的曲边梯形的面积值(图2-8). 上页 下页 返回 上页 下页 返回 这是因为 性质 (4) 说，若f (x)在点x处连续, 有 故X的概率密度f(x)在x这一点的值, 恰好是X落在区间(x, x+△x]上的概率与区间长度△x之比的极限. 这里, 如果把概率理解为质量, 则 f(x)相当于线密度. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 若不计高阶无穷小, 有 P{x<X≤x+△x}≈f(x)△x. 它表示随机变量X取值落入区间(x, x+△x]的概率近似等于f(x)△x. 由导数的定义，我们得到： 上页 下页 返回 上页 下页 返回 讲评 由P(A)=0, 不能推出A= , 但P( )=0; 由P(B)=1, 也不能推出B=Ω, 即Ｂ并非必然事件, 但P(Ω)=1. 性质(5)是因为 因此, 对连续型随机变量X, (4.2)式成为 P{x1≤X<x2}= P{x1<X≤x2}= P{x1<X<x2}. 2.4.4 理论应用 P{X=a} 上页 下页 返回 上页 下页 返回 例2.4.1 设连续型随机变量X的概率密度 f (x)如右式，试求: 解 (1) 因为 故由 (1) 常数k ; (2) P{|X|≤0.5}; (3) X的分布函数. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 (2) 所求概率 (3) 因为 得到 当x<-1时, 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 上页 下页 返回 上页 下页 返