Ch1-6事件与试验的独立性（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（大连理工·第三版）

第一章 随机事件与概率 1.6 事件的独立性 第一章 随机事件与概率 1.6 事件的独立性 内容简介: 事件B发生的概率受事件A发生的影响, 这是条件概率问题. 如果事件B发生的概率不受事件A发生的影响, 那么会出现什么样的结果呢？这就是事件独立性问题. 我们学习如何判定事件具有独立性，并计算其概率. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 1.6.1 提出问题 “近朱者赤近墨者黑”说明什么呢？同班同学的学习风气是否有影响呢？射手比赛为什么要戴耳机？如果事件B发生的概率不受事件A发生的影响, 这就是事件独立性问题. 1.6.2 预备知识 概率的性质，逆事件概率计算公式，古典概型，超几何分布. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 1.6.3 问题提出 为此, 先看下例： 引例 设某盒中有5件产品,其中3件合格品,2件次品.现每次任取一件,不放回地取两次. 求： (1) A={第一次取到合格品}的概率； (2) B={第一次取到合格品的条件下第二次又取到合格品}的概率； (3) C={第二次取到合格品}的概率. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 可知， 由全概率公式得 可见， P(C|A)≠P(C). 上述问题是不放回抽样. 如果抽取方式改变成“从中任取两次, 每次抽取一件”这样的放回抽样， 则 可见 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 上页 下页 返回 上页 下页 返回 讲评 这说明事件A的发生不影响事件C的发生的概率.从直观上讲, 这是很自然的,因为是放回抽样, 第一次抽到的产品实际上不影响第二次抽到的产品. 在这种场合, 可以说事件A与事件C的发生具有某种“独立性”. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 在上一节中,我们知道了条件概率这个 概念,即在已知事件A发生的条件下, 事件B发生的概率为 并且由此得到了概率乘法公式 P(AB)=P(A)P(B|A). 上页 下页 返回 上页 下页 返回 现在让我们提出一个问题：如果事件B 发生与否不受事件A是否发生的影响, 那么会出现什么样的结果呢？为此, 需要把“事件B发生与否不受事件A是否发生的影响”这句话表达成数学的语言. 事实上, 事件B发生与否不受事件A的影响, 也就意味着有 P(B|A)=P(B). 这时概率乘法公式就有了更自然的形式： P(AB)=P(A)P(B). 上页 下页 返回 上页 下页 返回 定理2 如果事件A与B相互独立, 则下列各对事件A与 , 与B, 与 都是相互独立的. 定义1 设A,B是两个事件, 如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B), 则称事件A与B是相互独立的, 简称A,B独立. 定理的正确性由两个定义得到. 定理1 设A,B是两事件, 且P(A)>0. 若A,B相互独立, 则 P(B|A)=P(B). 反之亦然. 1. 随机事件独立性 1.6.4 建立理论 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 上页 下页 返回 上页 下页 返回 定理2还可叙述为：若四对事件A与B, A与 , 与B, 与 中有一对独立, 则另外三对也独立,即，这四对事件或者都独立, 或者都不独立. 证 由于 P( )= P(A-B)= P(A-AB)=P(A)-P(AB) =P(A)-P(A)P(B)=P(A)[1-P(B)]=P(A)P( ), 因此, A与 相互独立. 关于 与B和 与 的独立性同理可证. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 上页 下页 返回 上页 下页 返回 讲评 关于独立性还要注意两点： (1) 不要把两个事件的独立性与互不 相容混为一谈, 独立与互斥事件之间没有必然的互推关系. 见2003年考研数(四)考题. 但有结论: 若A与B互