Ch1-5条件概率（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（大连理工·第三版）

第一章 随机事件与概率 1.5 条件概率 1.5 条件概率 内容简介 在自然界及人类的活 动中, 存在着许多互相联系、互相影响的事件. 除了要分析随机事件B发生的概率P(B)外, 有时我们还要提出附加的限制条件, 也就是要分析“在事件A已经发生的前提下”事件B发生的概率, 我们记为P(B|A). 这就是条件概率问题.我们主要学习条件概率计算公式、概率乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式. 这一节特别重要，一定要学好. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 1.5.2 预备知识 概率的性质，逆事件概率计算公式，古典概型，超几何分布. 1.5.1 提出问题 1.如何计算“第一次取到红球的 条件下，第二次又取到红球的概率”？ 2. 在三个工厂中的产品中取样，取到次品的概率是多少？ 3. 已知取到次品，问该次品来自甲厂的概率是多大呢？ 上页 下页 返回 上页 下页 返回 1. 条件概率 1.5.3 问题分析 先考虑下述问题. 引例 设某盒中有5件产品, 其中3件合格品, 2件次品. 现每次任取一件, 不放回地取两次. 求： (1) A={第一次取到合格品}的概率； (2) B={第一次取到合格品的条件下第二次又取到合格品}的概率. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 答案是很容易求出的： (1)的答案是 (2)的答案是 事件AB表示第一次和第二次都抽到合格品. 由于抽取是不放回的, 所以每次抽取一个并且连抽两次与一次抽取两个是等效的, 因而 P(AB)= 上页 下页 返回 上页 下页 返回 定义 设A, B为随机试验E的两个事件, 且P(A)>0, 称 P(B|A)= (5.1) 为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率. 1.5.4 建立理论 总有关系式 P(B|A)= = = 上页 下页 返回 上页 下页 返回 性质2 (条件对立事件概率) 对于任意事件B和它的对立事件 , 仍然成立 P(B|A)=1- P( |A). (5.2) 讲评 对公式P(B|A)=1-P(B| )不成立, 但P(B|A)和P(B| )在全概率公式、贝叶斯公式中常用到. 性质1 对于不可能事件 , 有P( |A)=0. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 性质3(条件概率加法公式) 对于随机事件 B1, B2和A, 加法公式成立： P(B1∪B2|A)= P(B1|A)+ P(B2|A) - P(B1B2|A). (5.3) 特别地, 当B1, B2互不相容时, 加法公式成立： P(B1∪B2|A)= P(B1|A)+ P(B2|A). (5.4) 上页 下页 返回 上页 下页 返回 讲评 计算条件概率P(B|A)有两种方法： 1.5.5 方法应用 方法1 在样本空间Ω 的缩减样本空间ΩA中计算B 发生的概率, 得到P(B|A). 方法2 在样本空间Ω中, 计算P(AB), P(A), 然后利用公式(1.5.1)求出P(B|A). 上页 下页 返回 上页 下页 返回 例1.5.1 设某种动物由出生算起活到20岁以上的概率为0.8, 活到25岁以上的 概率为0.4. 如果一只动物现在已经活到20岁, 问它能活到25岁以上的概率是多少？ 解 设A={该动物活到20岁}, B={该动活到25岁以上}, 则 P(A)=0.8, P(B)=0.4. 所以我们得到 因为B A, 所以 P(AB)= P(B)=0.4. = P(B|A)= =0.5. 讲评 在活到20岁的条件下，活到25岁以上的概率0.5要比从出生算起的概率0.4大. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 2. 概率乘法公式 定理1(概率乘法公式) 对于任意的事件A,B, (1) 若P(A)>0, 则 P(AB)= P(A)P(B|A) . (5.5) (2) 若P(B)>0, 则 P(AB)=