Ch1-4频率与概率（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（大连理工·第三版）

第一章 随机事件与概率 1.4 频率与概率 第一章 随机事件与概率 1.4 频率与概率 内容简介: 通过借助于熟悉的频率及其性质,引出概率的统计定义,建立概率的公理化定义,在此概念基础上,研究概率的有限可加性、差事件和对立事件的概率计算公式、概率加法公式等重要理论。 上页 下页 返回 上页 下页 返回 1.4.1 提出问题 1.大量的重复试验后,事件发生的可能性有大有小,怎样来认识和刻画它？ 2.频率，我们比较熟悉。它和概率有关系吗? 可以给我们哪些启示呢？ 1.4.2 预备知识 1. 频数, 频率, 掷币试验的频率. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 我们观察一项随机试验所发生的各个事件,就其一次具体的试验而言,每一事件出现与否都带有很大的偶然性,似乎没有规律可言. 但是在大量的重复试验后,就会发现: 某些事件发生的可能性大些,另外一些事件发生的可能性小些,而有些事件发生的可能性大致相同. 1.4.3 问题分析 上页 下页 返回 上页 下页 返回 4 比如,一个箱子中装有100只产品, 其中95只是合格品,5只是次品.从其中任意拿出一只,则拿到合格品的可能性就比拿到次品的可能性大. 假如这100只产品中的合格品与次品都是50只,则拿到合格品与拿到次品的可能性就大致相同. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 所以,一个事件发生的可能性大小是它本身所固有的一种客观的度量.很自然, 人们希望用一个数来描述事件发生的可能性大小,而且事件发生可能性大的,这个数就大;事件发生可能性小的,这个数就小. 为此,我们引入熟悉的“频率”的概念, 它描述了事件在多次试验中发生的频繁程度,进而引出表征事件在一次试验中发生的可能性大小的数量指标——概率. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 定义1 在相同的条件下，进行了n次试验, 在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数；比值 称为事件A发生的频率,并记为fn(A). 1. 频率 上页 下页 返回 上页 下页 返回 引例 在同样条件下,多次抛一枚质地均匀的 硬币,考察“正面朝上”的次数,这个试验在 历史上曾经有多人做过,得到如表1-2所示的数据. 表1-2 掷硬币试验数据 频率 0.5077 40961 80640 罗曼诺夫斯基 0.5005 12012 24000 皮尔逊 0.5016 6019 12000 皮尔逊 0.5080 2048 4040 蒲 丰 出现正面次数nA (频数) 投掷次数n 实验者 上例中频率在0.5附近摆动,n增大时,逐渐稳定于0.5. 实验者 资料 上页 下页 返回 上页 下页 返回 频率具有下列性质： 性质1 非负性: 0≤fn(A)≤1. 性质2 规范性:设Ω为必然事件,则fn(Ω)=1. 经验表明：虽然n次试验中, 事件A出现的次数nA不确定,事件A的频率不确定,但当试验次数充分多时,事件A出现的频率在一个常数附近摆动. 用这个常数来表示事件A发生的可能性大小比较恰当.这是我们下面将给出概率统计定义的客观基础. 性质3 可加性:若A,B互不相容,则 fn(A∪B)=fn(A)+ fn(B). 上页 下页 返回 上页 下页 返回 2. 概率的统计定义 定义2 在试验条件不变的情况下，重复作n次试验，事件A发生的频率稳定在某一常数p附近摆动，则称这个常数p为事件A在一次试验中发生的概率，记作P(A). 即P(A)=p. 数P(A)就是在一次试验中对事件A发生的可能性大小的一种数量描述.我们习惯称定义2是概率的统计定义. 例如,在引例中就可以用0.5来描述掷一枚匀质硬币“正面朝上”出现的可能性大小. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 用概率的统计定义来估计概率的方法, 在过去和现在解决了不少问题, 但它们 在理论上存在缺陷, 在应用上也有局限性. 例如, 在实际问题中往往无法满足概率统计定义中要求的试验次数的“充分大”, 也不清楚试验次数应该大到什么程度, 因此概率的统计定义不能作为数学意义上的定义. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 讲评 “频率”与“概率”的区别： (1) 事件的频率与概率有着本质区别: 频率具有随机波动性,是一个变数; 而概率是一个常数,具有客观性. (2) 概率的统计定义只是一种描述, 它指出了事件的概率是客观存在的, 随着