Ch1-3古典概率与几何概率（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（大连理工·第三版）

第一章 随机事件与概率 1.3 古典概率与几何概率 内容简介: 通过分析古代较早时候的博弈对决思想,提出了古典概型数学模型,证明了等可能概型的概率计算公式. 重点解决了随机抽样概型、随机取数概型、分房概型等常见的概率计算问题，对有放回抽样和无放回抽样给出了对比分析. 本节的理论和解题方法对于学习概率论知识具有重要的指导意义. 第一章 随机事件与概率 1.3 古典概率与几何概率 上页 下页 返回 上页 下页 返回 1.3.1 提出问题 1.随机事件出现的机会均等，如何 计算它们的发生可能性——概率——的大小？ 2.产品抽样、抓阄是否有先后顺序、分配任务等现实问题的概率怎样分析？ 1.3.2 预备知识 1.排列组合计算公式，乘法原理，加法原理. 2.样本空间，样本点计数，基本事件计数. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 在古代较早的时候,人们利用研究 对象的物理或几何性质所具有的对称性确定了计算概率的一种方法. 例如, 在例 1.2.1 抛掷硬币试验中, 令ω1表示“出现正面”, ω2表示“出现反面”, 则样本空间Ω={ω1,ω2}中有两个样本点, ω1和ω2发生的可能性是相等的,因而可以规定P({ω1})= P({ω2})=0.5, 即“出现正面”和“出现反面”的概率各占一半. 1.3.3 问题分析 上页 下页 返回 上页 下页 返回 定义1 (2) 每个基本事件 的发生是等可能的. , 如果随机试验E满足下述条件： (1) 试验结果的个数是有限的. 则称这个试验为等可能概型. 它在概率论发展初期是主要的研究对象, 所以也称为古典概型. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 在古典概型中, 任一随机事件A包含的基本事件数k与样本空间Ω中包含基本事件总数n的比值, 等于随机事件A的概率P(A), 即 (3.1)式就是事件A的古典概率公式. 定理 1.3.4 建立理论 上页 下页 返回 上页 下页 返回 证 不妨设事件A所包含的k个基本事件为{ω1}，{ω2} ，…，{ωk}，由等可能性 知, P({ω1})= P({ω2}) = … =P({ωk})=1 / n，又由于基本事件{ω1}， {ω2}，…， {ωk}两两互不相容,由有限加法公式得到: . 讲评 对于古典概型应注意以下几点： (1) 古典概型是学习概率统计的基础, 因此它是非常重要的概率模型. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 . (2) 判断是否古典概型的关键是 等可能性, 而有限性较容易看出；就是事件A包含的基本事件个数不要重复计算或者漏掉；事件间的关系及运算亦要熟悉。 上页 下页 返回 上页 下页 返回 . (3) 计算古典概型概率时,首先要 判断有限性和等可能性是否满足；其次要弄清楚样本空间是怎样构成的. 对于复杂问题只要求基本事件的总数n, 同时求出所讨论事件A包含的基本事件数k, 再利用公式(3.1)计算出P(A). 上页 下页 返回 上页 下页 返回 例1.3.1 有100件产品, 其中有10件是 次品, 其余为合格品. 任取5件. 计算: (1) 5件都是合格品的概率； (2) 至少有一件是次品的概率. 解 设A表示事件{5件产品都是合格品}, 则 表示{5件产品中至少有一件是次品}. 1.3.5 方法应用 上页 下页 返回 上页 下页 返回 可以分为两种情形： (1) 第一次取出产品后考察“是否合格”, 然后放回, 搅拌后再抽取第二件产品, 继续考察“是否合格”, 依此进行下去，这种抽取方式称为放回抽样.放回抽样通常采取“一次性抽取”5件产品的方式； (2) 第一次取出产品后考察“是否合格”, 不作放回处理, 接着再抽取第二件产品, 继续考察“是否合格”, 依此进行下去，这种抽取方式称为不放回抽样. 上页 下页 返回 上页 下页 返回 (1) 放回抽样的情况： 从100件产品中一件一件地任取 5件的所有可能取法有1005种, 即基 本事件总数n=1005. 取5个都是合格品的所有可能取法有905种, 即A包含的基本事件数为k=905, 所以 P(A) = 若认为从100件产品中一次性地任取5件，则所有可能取法有 种, 即基本事件总数 n= . 上页 下页 返回 上页 下页 返回