4.4 数学归纳法 同步练习-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.4数学归纳法同步练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由到时，左边增加了（    ） A．1项 B．k项 C．项 D．项 2．用数学归纳法证明（），在验证成立时，左边计算所得的项是（    ） A．1 B． C． D． 3．用数学归纳法证明“对任意的，都有，第一步应该验证的等式是（    ） A． B． C． D． 4．用数学归纳法证明“对任意的，”，由到时，等式左边应当增加的项为（    ） A． B． C． D． 5．用数学归纳法证明，“当为正奇数时，能被整除”时，第二步归纳假设应写成（    ） A．假设时正确，再推证正确 B．假设时正确，再推证正确 C．假设时正确，再推证正确 D．假设时正确，再推证正确 6．某同学用数学归纳法证明不等式，过程如下： （1）当时，，不等式成立． （2）假设当,且时，不等式成立，即，则当时，， ∴当时，不等式成立． 根据（1）和（2）可知对任何都成立．则上述证法（    ） A．全部过程均符合数学归纳法的原理 B．的验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从到的推理没有用到归纳假设 7．下列命题正确的有（    ）个 （1）若数列为等比数列，为其前n项和，则，，也成等比数列； （2）数列的通项公式为，则对任意的，存在，使得； （3）设为不超过实数x的最大整数，例如：，，.设a为正整数，数列满足，，记，则M为有限集． A．0 B．1 C．2 D．3 8．意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2整除后的余数构成一个新数列，则数列的前2020项的和为（    ） A．1346 B．673 C．1347 D．1348 二、多选题 9．已知为数列的前项和，且，则（    ） A．存在，使得 B．可能是常数列 C．可能是递增数列 D．可能是递减数列 10．已知数列和，设，，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 11．已知正项数列中，，且，则下列说法正确的是（    ） A．数列是递增数列 B． C． D． 12．用数学归纳法证明不等式的过程中，下列说法正确的是（　　） A．使不等式成立的第一个自然数 B．使不等式成立的第一个自然数 C．推导时，不等式的左边增加的式子是 D．推导时，不等式的左边增加的式子是 三、填空题 13．用数学归纳法证“（）”的过程中，当到时，左边所增加的项为 ． 14．利用数学归纳法证明“，”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是 . 15．用数学归纳法证明等式“”时，第一步验证需证明的命题为 ． 16．已知数列：，如果数列：满足，，其中，则称为的“衍生数列”．若数列：的“衍生数列”是5，－2,7,2，则为 ；若为偶数，且的“衍生数列”是，则的“衍生数列”是 ． 四、解答题 17．数列有100项，，对任意，存在,若与前n项中某一项相等，则称具有性质P． (1)若，写出所有可能的值； (2)若不是等差数列，求证：数列中存在某些项具有性质P; (3)若中恰有三项具有性质P，这三项和为，请用表示． 18．设等差数列的前项和为，，，数列的前项和为，满足，. (1)求数列、的通项公式； (2)记，，用数学归纳法证明：. 19．设数列满足，. (1)计算，，猜想的通项公式并用数学归纳法加以证明； (2)若数列的前项和为，证明：. 20．已知数列满足，. (1)求的值； (2)求数列的通项公式； (3)若数列满足，.对任意的正整数，是否都存在正整数，使得？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由. 21．某企业的产品以往专销欧美市场，在全球金融风暴的影响下，欧美市场的销量受到严重影响，该企业在政府的大力扶助下积极开拓国内市场，并基本形成了市场规模；自年月以来的第个月（年月为第一个月）产品的内销量、出口量和销售总量（销售总量内销量与出口量的和）分别为和（单位：万件），依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：，（其中、为常数），已知万件，万件，万件. (1)求、的值，并写出与满足的关系式； (2)利用数学归纳法证明销售总量一直小于万件，并判断总销量是否逐月递增，说明理由. 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】利用数学归纳法，分别写出和的式