第5章 区间估计（课件）- 《统计学——思想、方法与应用（第二版）》同步教学（人民大学版）

统计学：思想、方法与应用 企业风险管理 1 第5章 参数估计 5.1 样本统计量和总体参数 5.2 点估计 5.3 抽样分布与中心极限定理 5.4 区间估计：给结论留一些余地 5.5 合适样本量的确定 学习目标 知道统计量与总体参数的关系； 知道什么是点估计和区间估计； 了解衡量估计量好坏的标准； 熟悉几种抽样分布以及中心极限定理； 理解置信区间的概念； 能构造总体均值的置信区间或区间估计； 能构造总体比例的置信区间或区间估计； 确定合适的样本量 从数据中提取与研究问题有关的信息，并利用它得到关于现实世界的结论的过程就叫做统计推断(statistical inference)。 估计(estimation)是统计推断的重要内容之一。 统计推断的另一个主要内容是下一章要介绍的假设检验(hypothesis testing)。 尽管样本中的信息并不完全，而且来自于样本的结果一般不等于总体真实值，但是我们还是经常采用样本数据。 之所以需要用样本代替总体进行研究，原因在于在通常情况下，我们对整个总体进行全面调查是不可行的，可能是对整个总体进行调查过于费时，对总体进行逐一调查费用过高或者抽样得到的结果就已经满足我们分析的要求，或者检验可能是破坏性的。 估计就是根据你拥有的信息来对现实世界进行某种判断。 你可以根据一个人的衣着、言谈和举止判断其身份 你可以根据一个人的脸色，猜出其心情和身体状况 统计中的估计也不例外，它是完全根据数据做出的。 如果我们想知道北京人认可某饮料的比例，人们只有在北京人中进行抽样调查以得到样本，并用样本中认可该饮料的比例来估计真实的比例。 从不同的样本得到的结论也不会完全一样。虽然真实的比例在这种抽样过程中永远也不知道；但可以知道估计出来的比例和真实的比例大致差多少。 5.1 用估计量估计总体参数 人们往往先假定某数据来自一个特定的总体族（比如正态分布族）。 而要确定是总体族的哪个成员则需要知道总体参数值（比如总体均值和总体方差）。 人们于是可以用相应的样本统计量（比如样本均值和样本方差）来估计相应的总体参数。 5.1 用估计量估计总体参数 一些常见的涉及总体的参数包括总体均值(m)、总体标准差(s)或方差(s2)和(Bernoulli试验中)成功概率p等（总体中含有某种特征的个体之比例）。 正态分布族中的成员被（总体）均值和标准差完全确定； Bernoulli分布族的成员被概率（或比例）p完全决定。 因此如果能够对这些参数进行估计，总体分布也就估计出来了。 5.1 用估计量估计总体参数 估计的根据为总体抽取的样本。 样本的（不包含未知总体参数的）函数称为统计量；而用于估计的统计量称为估计量(estimator)。 由于一个统计量对于不同的样本取值不同，所以，估计量也是随机变量，并有其分布。 如果样本已经得到，把数据带入之后，估计量就有了一个数值，称为该估计量的一个实现(realization)或取值，也称为一个估计值(estimate)。 5.1 用估计量估计总体参数 这里介绍两种估计，一种是点估计(point estimation)，即用估计量的实现值来近似相应的总体参数。 另一种是区间估计(interval estimation)；它是包括估计量在内（有时是以估计量为中心）的一个区间；该区间被认为很可能包含总体参数。 点估计给出一个数字，用起来很方便；而区间估计给出一个区间，说起来留有余地；不像点估计那么绝对。 5.2 点估计 用什么样的估计量来估计参数呢？ 实际上没有硬性限制。任何统计量，只要人们觉得合适就可以当成估计量。 当然，统计学家想出了许多标准来衡量一个估计量的好坏。每个标准一般都仅反映估计量的某个方面。 这样就出现了按照这些标准定义的各种名目的估计量（如无偏估计量等）。 另一些估计量则是由它们的计算方式来命名的（如最大似然估计和矩估计等）。 5.2 点估计 最常用的估计量就是我们熟悉的样本均值、样本标准差(s)和(Bernoulli试验的)成功比例(x/n)； 人们用它们来分别估计总体均值(m)、总体标准差(s)和成功概率(或总体中的比例)p。这些在前面都已经介绍过，大家也知道如何通过计算机（或公式）来计算它们。 5.2 点估计 那么，什么是好估计量的标准呢？ 一种统计量称为无偏估计量(unbiased estimator)。 所谓的无偏性(unbiasedness)就是：虽然每个样本产生的估计量的取值不一定等于参数，但当抽取大量样本时，那些样本产生的估计量的均值会接近真正要估计的参数。 5.2 点估计 由于一般仅仅抽取一个样本，并且用该样本的这个估计量的实现来估计对应的参数，人们并不知道这个估计值和要估计的参数差多少。 因此，无偏性仅仅是非常多次重复抽样时的一个渐近概念。 随机样本产生的样