3.4相互独立的随机变量（课件）- 《概率论与数理统计（第3版）》同步教学（机工版）

第三章知识结构图 多维随机变量 联合 分布律 联合分布函数 函数 的分 布 联合概率密度 二维离散型 随机变量 联合分布函数 函数 的分 布 二维连续型 随机变量 定义 常用分布 定义 常用分布 两事件A, B 相互独立的定义是： 若 P (AB) = P (A) P(B) 则称事件 A, B 相互独立 第四节 相互独立的随机变量 两个随机变量相互独立概念的引出 现问： 若 X, Y 是两个随机变量，若对任意的 x, y, 有: 则能否得出 X, Y 相互独立 ？ 一. 随机变量相互独立的定义 设 (X,Y) 的 联合分布函数及边缘分布函数 为F(x,y) 若对任意的 x, y 都有: 则 称 随机变量 X 和 Y是相互独立的. 二. 当 (X,Y) 为离散型随机变量 X和Y相互独立 是 的所有可能的取值 例1. 设 X,Y 相互独立，它们的分布律分别为: 求: (X,Y) 的联合分布律. 解: 相互独立 从而： 依次可得 (X,Y) 的联合分布律为: X Y 对离散型随机变量而言，已知联合分布律可求出其 相应的边缘分布律，但反之则不然。 从此例可得出： 而一旦已知 X,Y 相互独立条件后，则可由边缘分布 律直接求得其联合分布律。 三. 当 (X,Y) 为连续型随机变量 同一维随机变量的独立性，类似有： 设 (X,Y) 服从正态分布，其边缘分布密度为： 例2. 注 问: X 和 Y 相互独立的充分必要条件是什么? 问: X 和 Y 相互独立的充分必要条件是什么? 解: 要 则比较可知其充分必要条件是： 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 (1) 联合概率密度及边缘概率密度; (2) 检验 X 和 Y 是否相互独立 (3) (X,Y) 的联合分布函数 (4) 例3. 求: 解: (1). 设随机变量 (X,Y) 在矩形域: 内服从均匀分布 (X,Y) 服从均匀分布 由题意在 区域内 所以，其概率密度为: 在矩形 上: 所以，其联合概率密度为： 在其它域上: (2). 所以得其边缘概率密度分别为： 与 相互独立 (2) 检验 X 和 Y 是否相互独立 (3). 视它为不可能事件 当 时: (3) 求(X,Y) 的联 合分布函数 当 时 故(X,Y)的联合分布函数为 (4). 甲乙两人约定中午12点30分在某地会面。 设甲在时间12:15到12:45之间到达某地 是均匀分布；乙独立地到达，而且到达 时间在12:00到13:00之间也是均匀分布. 例4. 试求：(1) 先到的人等待另一人到达 的 时间不超过5分钟的概率. (2) 甲先到的概率 设 X：甲到达时刻， Y：乙到达时刻 若以12点为起点，以分为单位，依题意： X ~ U ( 15, 45 ), Y ~ U ( 0, 60 ) 先到的人等待另一 人到达的时间不超 过5分钟的概率 甲先到 的概率 解: 且有： 所求为 ： 及 P( X < Y ) =1/6 =1/2 P ( X < Y ) 而： 类似的问题如： 甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独 立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可 能的 . 若甲船需停泊1小时，乙船需停泊 2小时 而该码头只能停泊一艘船. ★ 试求：其中一艘船要等待码头空出的概率 在某一分钟的任何时刻，信号进入收音机是等可能的. 若收到两个互相独立的这种信号的时间间隔小于0.5 秒，则信号将产生互相干扰. ★ 把长度为a 的线段在任意两点折断成为三线段 ★ 长度为a 求：发生两信号互相干扰的概率. 求：它们可以构成三角形的概率. 四. 个随机变量相互独立的概念 定义1. 则称 是相互独立的。 定义2. 若对所有的 有： 若对所有的 有： 其中 依次为随机变量 和 的分布函数。 和 是相互独立的。 关于 的边缘分布函数 则称 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 若连续型随机向量（X1, …,Xn）的概率密度 函数 f (x1, …, xn)可表示为 n 个函数 g1, …,gn 之积，其中gi 只依赖于 xi，即: 关于独立性的三个结果： 定理1 则