3.5两个随机变量的函数的分布（课件）- 《概率论与数理统计（第3版）》同步教学（机工版）

第三章知识结构图 多维随机变量 联合 分布律 联合分布函数 函数 的分 布 联合概率密度 二维离散型 随机变量 联合分布函数 函数 的分 布 二维连续型 随机变量 定义 常用分布 定义 常用分布 一般，先讨论两个随机变量的函数的分布问题，然后将其 推广到多个随机变量的情形。 在多维随机变量中需讨论：已知随机变 量X1, X2, …,Xn 及其联合分布，如何求 出它们的函数： Yi =gi (X1, X2, …,Xn ), i = 1, 2,…, m 的联合分布。 第五节 两个随机变量的函数的分布 研究的问题 在一维随机变量中讨论了：已知随机变量 X 及它的分布，如何求其函数 的分布。 一. Z=X+Y 的分布(和的分布) 设 ( X, Y )的概率密度为 f ( x, y ). 固定 z 和 x , 对内层积分作变量替换 y = u – x 累 次 积 分 是直线x+y =z 左下方 的半平 面 交换 积分 次序 则 Z= X + Y 的分布函数为: 得 Z=X+Y 的概率密度为: 当 X, Y 相互独立时，则由 或 称为卷积公式 记为： 由 X 和 Y 的对称性， fZ (z)又可写为： 有: 注 例1. 设 X 和 Y相互独立的随机变量，且 求：Z = X + Y 的概率密度 解: 利用卷积公式： 结论: 推广到 n 个相互独立正态随机变量之和，即： 若随机变量 X 和 Y 相互独立，且 ▲ 则它们的和仍服从正态分布， 即： ▲ 且它们相互独 立， ▲ 更一般的有： 则它们的和仍服从正态分布。即有： 有限个相互独立的正态 随机变量的的线性组合 仍然服从正态分布。 例2. 且 X, Y 的概率密度分别为: 求: Z = X + Y 的分布 解: 令： 从 当 时， 当 时， Beta 函数定义： B(m,n) = 且 B 函数与 函数之间有关系式： 从而得： 结论: 从而得： ▲ 若 相互独立，且服从参数为 的 分 则它们的和仍服从参数为 的 分布 ▲ 推广： 服从参数为 则其和 布， 此时则称 X 服从自由度为 n 的开平方分布， ▲ 特别当 时， 的密度函数为： ▲ 若 相互独立，并均服从 , 则 正态分布的和仍服从正态分布；而正态分布的平方和和却服从 分布 记为： 例3. 求: Z = X + Y 的分布 解: (服从泊松分布)， 且 X, Y 相互独立。 设 与 的取值均为： 的取值也为非负的整数 因为 X 与Y 相 互独立 结论: 服从参数为 的泊松分布，且 若 X, Y 相互独立 , 则它们的和服从参数为 泊松分布，即： 例4. 若X 和 Y 相互独立，具有相同的概率密度： 求：Z = X +Y 的概率密度 为确定积分限，先找出使被积函数不为零的区域 由卷积公式： 即 解: 由已知： 于是得： 如图示: 区域 被积函数不为 0 的区域 例1 ~ 例3说明： 归纳 求解例1 ~ 例3过程中知： ▲ ▲ 用已知的分布求出 Z = g( X, Y ) 的分布。 的函数 Z = g( X, Y ) 的分布时， 关键是设法将其 转化为( X, Y )在一定范围内取值的形式， 从而利 随机变量， 不论是连续型随机变量还是离散型 如果它们服从正态分布, 分布或泊松 分布， 那么它们的和也仍然服从正态, 分布或泊 松分布， 并且参数是单个参数之相加, 具有这种性 质的随机变量也称其为满足或具有可加性的随机变量。 在求随机向量( X, Y ) 二. 的分布 (商的分布) 设 ( X, Y ) 的概率密度为 f ( x, y ) 则 的分布函数为: 对于 固定 z, y 令: 同样有: 故有: 对 求导得 概率密度函数为: 当 X, Y 相互独立时, 则有: 例5. 设 X, Y 的概率密度分别为: 并且 X, Y 相互独立。 求： 的概率密度函数 注 解: 因为 X, Y 的取值范围分为大于零与小于等于零 当 时：