3.3条件分布（课件）- 《概率论与数理统计（第3版）》同步教学（机工版）

在第一章中已经介绍了条件概率的概念 ，即 在事件B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率: 现设有两个随机变量 X, Y ，若问:在给定Y 取某个或某些值的条件下，求随机变量X 的概率分布. 这个分布就是条件分布. 第三节 条件分布 问题的提出 考虑某大学的全体学生，从其中随机抽取一个 学生，分别以X和Y 表示其体重和身高 . 则 X 和Y 都是随机变量，它们都有一定的概率分布. 体重X 身高Y 体重X 的分布 身高Y 的分布 例如: 这就意味着要从该校的学生中把身高在1.7米 和1.8米 之间的那些人都挑出来，然后在挑出的学生中求其体重的分布. 这个分布与不加这个条件时的分布会 很不一样. 在条件分布中体重取大值的概率会 显著增加 . 现在若限制 1.7 < Y < 1.8 (米) ，这个条件 求：X 的条件分布 显然： 例如： 一. 离散型随机变量的条件分布 1. 定义: 若 (X,Y) 是二维随机变量,其联合分布律为 (X, Y) 关于 X 和 Y 的边缘分布律为 则在事件 已发生的条件下事件 亦称为X 在 下的条件分布律. 发生的概率为: y 在条件 下的条件分布律为: 2. 性质: 同理可定义： 设随机变量 X 在 1, 2, 3, 4 四个整数中等可能地 取值；另一随机变量Y 在 1 ~ X 中等可能地取一整数 例1. 求：条件分配律 及 解: 从而相应的分布律有16个，现分别计算两个: 其它的留作课后同学自己去完成 二. 连续型随机变量的条件分布 在离散型中条件分布律是由条件概率引出的，其中对任意的 但注意到：在一维随机变量的 讨论中指出过连续型与离散型随机变量根本区别之一就在于对于连续型随机变量而言 P(X=x)=0 ， P(Y=y)=0。因此，对于连续型随机变量就无法用条件概率去引出条件分布的概念了。所以必须从分布函数着手并且加以极限的方法引出条件分布的概念. 引言 定义1. 则称此极限为在条件 下, X 的条件分布函数。 同理: 且对任意实数 为条件 下 记为： Y 的条件分布函数 定义2: 。若在点 处 连续，边 缘概率密度 连续，且 则： 同理 Y 的条件密度函数 为在条件 下 为在条件 密度函数 下 X 的条件 若 (X,Y) 的联合分布函数为 , 概率密度为 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 推导: 分子分母同乘 由条件概率定义 由分布函 数性质 分子是由二元偏导数定义;分母是由一元导数定义 分子是由分布函数定义; 分母是由分布函数与概率 密度关系. 对 y 求偏导后 只含 x 的积分 同理得: 设随机变量 (X,Y) 的分布密度为： 求: (1) X,Y 的边缘分布密度. (2) X,Y 的条件分布密度. 又因为由定义： 所以得： 例2. 解: 的边缘概率密度为： (1) 由已知的 可知： 当 0 < y <1 时 (2). 依条件概率密度的定义可知: 同理, 的边缘概率密度为： 对于使 为非零值的区域有： 设 (X,Y) 的概率密度为： 例3. 求: ( 即均服从正态分布 ) 解: 显然它也是服从正态分布： 正态分布的边缘分布及条件分布 仍服从正态分布. 因为： 结论： 求： P ( X>1 | Y= y ) 设 (X,Y) 的概率密度为： 解: P(X>1|Y=y) 为此，需求出 例 4. 因为 由于 于是对 y > 0 故对 y > 0 P ( X>1 | Y= y ) 设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，概率 密度为: 求： X 的边缘密度为： 例5. 解： 即 当 | x | < 1 时，有： 当 | x | < 1 时, 有： $$