3.2边缘分布（课件）- 《概率论与数理统计（第3版）》同步教学（机工版）

第三章知识结构图 多维随机变量 联合 分布律 联合分布函数 函数 的分 布 联合概率密度 二维离散型 随机变量 联合分布函数 函数 的分 布 二维连续型 随机变量 定义 常用分布 定义 常用分布 第二节 边缘分布 边缘分布概念的引出 注意到: 积出的是变量 t 的函数 内层为广义积分 分布函数的定义 分布函数的连续性 一. 边缘分布的定义 则 分别称为二维随机变量 (X,Y)关于 X 和 二. 当 (X,Y) 为离散型随机变量 则 X 边缘分布函数 边缘分布律 设 为 X,Y 的联合分布函数， 已知 为 的联合分布律 关于 Y 的边缘分布函数. 边缘分布律 三. 当 (X,Y) 为连续型随机变量 边缘分布函数 则 Y 表示是由 关于 求和得到的； 已知连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度 及联合分布函数 注 表示是由 关于 求和得到的； 则 X 的 边缘分布函数: 边缘概率密度: 则 Y 的 边缘分布函数： 边缘概率密度: 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 把一枚均匀硬币抛掷三次，设 X 为三次抛掷中正面出现的次数，Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值. 　求：(X,Y)的联合分布律. （ X, Y）可取值： P(X=0, Y=3） P(X=1, Y=1） P(X=2, Y=1) P(X=3, Y=3) 列表如下: 例1 解： (0,3), (1,1), (2,1), (3,3). 二维联合分布律全面地反映了二维随机变量 (X,Y)的取值及其概率规律. 而单个随机变量 X,Y也具有自己的概率分布. 那么此例中二者 之间的关系怎么体现呢？ 从表中不难求得: P(X=0)=1/8, P(X=1)=3/8 P(X=2)=3/8, P(X=3)=1/8, P(X=1, Y=1)+P(X=2, Y=1） P(X=0, Y=3)+P(X=3, Y=3） 注意这两个分布正好是 表中的行和与列和. 问题： =3/8+3/8=6/8, P(Y=1)= =1/8+1/8=2/8. P(Y=3)= 如下表所示: 习惯上常将边缘分布律写在联合分布律表格的边 缘上，由此得出边缘分布这个名词. 注意： 2. 由联合分布律可以确定边缘分布律，但由边缘分 布律一般不能确定联合分布律. 设随机变量 X 在 1, 2, 3, 4 四个整数中等可能 地取值；另一随机变量 Y 在 1 ~ X 中等可能 地取一整数. 解: 由边缘分布律的定义可知， 例2. 求: 二维随机变量 (X,Y) 的边缘分布律 与 对X来说它取到“1”的可能性是 ;但当 x =1 时，y 只有 一个值与之对应，故对 y 来说是必然 事件，其概率为 1, 故有 先得求出 (X,Y)的联合分布律. X=1时, y 的值取不到2, 故对y 来说是不可能事件，其概率为 0 X Y 的联合分布律为： 设(X,Y) 均匀分布在由直线 ，x 轴 和y 轴所围成的区域 D 上. 求: (X,Y) 的联合概率密度与边缘概率密度. 解: 例3. 所以其概率密度为： 因为 服从均匀分布 (1). 边缘分布律 由题意可知 D 域图为: 1 x y 0 2 D (2). 因为边缘概率密度为: 则得: 同理可得: 或 时 时 例4. 设二维随机变量(X, Y)的概率密度为： 求: 二维正态随机变量(X, Y)的边缘概率密度 解: 由于: 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 于是: 令： 则有： 同理有： 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 由 X 和 Y 的边缘分布一般是不能 确定 X 和 Y 的联合分布的. 结论 二维正态分布的两个边缘分布均是一维正态分布，并且都不依赖于参数 ，亦即对于给定的 ，不同的 对应不同的二维正态分布，但它们的边缘分布却都是一样的 从而可得出： $$