2.5随机变量的函数的分布（课件）- 《概率论与数理统计（第3版）》同步教学（机工版）

第二章知识结构图 随机变量 分布律 分布 函数 函数的 分布 概率 密度 离散型随 机变量 分布 函数 函数的 分布 连续型随 机变量 定义 常用分布 定义 常用分布 问题的提出 在很多实际问题中，需要研究随机变量间存在的函数关系，也就是研究他们在概率分布上的关系. 已知圆轴截面直径 d 的分布， 求截面面积 A= 的分布. 第五节 随机变量函数的分布 例如： 已知 t = t0 时刻噪声电压 V 的分布 求功率 W=V2/R (R为电阻)的分布等. 研究问题: 已知随机变量 X 及它的分布， 要求 这个随机变量的分布. 随机变量 X 是基本事件的函数，那么随 机变量 X 的函数 Y 实际上是基本事件的 复合函数 . 又例如： 从函数角度看 一. 随机变量函数的定义 本节的任务: 根据X的分布求出Y的分布, 或由 的分布， 的分布. 这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的 定义: 设 是定义在随机变量 X 的一切可能取值 有另一个随机变量 的相应取值 值 则称 为 的函数， 如果对于 X 的每一个可能取 的集合上的函数， 记为 求出 二. 离散型随机变量的函数的分布 例1. 已知 X 的概率分布为: 分布律 的概率分布(分布律). 若 X 是离散型随机变量， 求: 则 也是一个 离散型随机变量， 且 g (X)的分布可由 X 的分布 直接求出. 解: 并且: 从而得 的分布律为: 例2. 已知 X 的概率分布为: 求: 的概率分布(分布律) 解: 并且 中有相等的概率， 所以得 分布律为： 但注意到 概率的加法定理可将其对应的概率相加： 则根据 如果 g( xk ) 中有一些是相同 时，则需将它们作适当并项 一般，若X 是离散型 随机变量，X 的概率函数为 归 纳 则 的概率函数为： 注意： 解: (1) 为求 Y 的概率密度, 先求出 Y 的分布函数. 这是关键一步 三. 连续型随机变量的函数的分布 例3. 设 X 服从区间 ( 0, 2 ) 上的均匀分布. 求： 的概率密度 的取值在 内 的取值在 内 服从 上的均匀分布 方法一: 分布函数法 从而当 时有: 当 时有: 当 时有: 于是求得其分布函数为: (2) 又因为密度函数是分布函数的导函数， 现若设连续型随机变量X的密度函数为 (3) 则 的分布函数为: 对 故将 求导即得 的概率密度为： 从上述例子中可以看到， 用 代替 { X 2 ≤ y } 这样做是为了利用已知的 X 的分布，从而求出相应的概 率。 这是求随机函数函数的分布的一种常用方法 例如： 将　　 对　　　　　　 求导数, 得 注 在求 P(Y≤y) 的过程 中关键的一步是: 设法从{ g(X) ≤ y }中解出X， 从而得到与 {g(X) ≤ y } 等价的 X 的不等式 . 分布函数法 定理: 设随机变量 X 具有概率密度 严格单调可微的函数 则 Y= g(X) 是连续型随机变量， 且有： 其中: 的反函数 又设函数 处处可导， 其概率密度为: 方法二: 公式法 [证]: 它的反函数 且在 严格单调递增，可导。 在 此时 严格单调 递增， 设 先求 的分布函数 当 时 时 则同理可得： 写出反函数 再求 的概率密度 将 关于 求导数即得 的概率密度为： 分布函数定义 综合以上两式得 的概率密度为： ▲ 若在 X 的可能取值范围内， y=g(x) 是分段严格 则应用定理求出 y 在各单调区间上 的密度函数， 再把各个结果相加，就得到 注 单调的函数， 例如： 的严格单调区间为： 与 则可先由定理求出 y 在各单调区间上的密度函数各为: 与 然后将它们相加后即为所求的 的密度函数。 ▲ 若 在有限区间 以外的值等于零。 则定理的条件只需假设在 上恒有： 或 并且有： 若 y=g(x) 在 x 取值范围内不单调，则此定理不 如果分布函数在相邻区间的交界点上不可微， ， ▲ 但对连续型随机变量而言，对积分区间是否 包含端点未作严格区分。 此时可通过先求 y=g(x) 的分布函数 能直接应用， 然后对分布函数求导数得 y=g(x) 的密度函数。 则求导得到的密度函数在交界点上没有意义，