2.4连续型随机变量及其概率密度函数（课件）- 《概率论与数理统计（第3版）》同步教学（机工版）

第二章知识结构图 随机变量 分布律 分布 函数 函数的 分布 概率 密度 离散型随 机变量 分布 函数 函数的 分布 连续型随 机变量 定义 常用分布 定义 常用分布 一. 连续型随机变量的概率密度 则称 X 为连续型变量， 第四节 连续型随机变量及其概率密度 1.定义 连续型随机变量与离散型随机变量的区别 ▲ 离散型： 连续型： 若对于随机变量 X 的分布函数，存在非负 函数 ，使得对于任意实数 有: 为 X 的概率密度函数 注 [证]: 让 “交”往 方向 “挤” 证法1 证法2 当 时， 两边取极限： 任取 并给 以增量 这个结论的意义: (不可能的事件的概率为0),但概率 为零的事不一定是不可能事件. ▲ (1). 从积分的几何意义上说，当 底边缩为一点时,曲边梯形面积退化为零。 ▲ (2).由此可知连续型随机量 在某区间上取值的 概率只与区间长度有关，而与区间是闭、开、 半开半闭无关，即有: 注 2. 概率密度函数的性质 这两条性质是判定 一个函数 f(x) 是否 为某随机变量 X 的 概率密度函数的充 要条件. f (x) x o 面积为1 性质1 性质2 几何 意义: 性质3 物理 意义: 性质4 若 在点 处连续，则有： 故 X 的密度 f (x) 在 x 点的值，恰好是 X 落在区间 上的概率与区间长度 之比的极限. 故称 f (x)为概率密度函数。 如果把概率理解为质量， 则 f (x)相当于线密度， 不计高阶 无穷小 (相当于积分中值定理 ) 这表示落在区间 上的概率近似等于 ，称 为概率微分。 注 的值的大小直接影响关系到概率的大小， 所以 的确描述了连续型随机变量的概率 分布的情况。 证明：函数 是一个连续型随机变量的概率密度函数. 例1. 证明： (1). 显然, (2). 一般只需验证 性质中的这两条即可. 所以得证 某电子计算机在毁坏前运行的总时间(单位:小 时)是一个连续型随机变量，其密度函数为: (2). 这台计算机在毁坏前能运行50到150 小时的概率. (3). 运行时间少于100 小时的概率. 例2. 求: (1). 解: (1) (2) 50 到 150 小时的概率 少于100小时的概率 (3) (1) (2) 一般称: 则称 X 为服从参数 的指数分布. (3) 若 X 具有概率密度: f (x)确定了 分布函数F(x)， f (x)是F(x)的 导函数， F(x)是f (x)的一个原函数 定义: 二 . 连续型随机变量的分布函数 若定义在 上的可积函数 满足： 则称 为连续型随机变量的分布函数. 可以验证 F(x) 具备了分布函数的性质: (3) 是右连续的。 (1) 是不减的函数； 注 设有函数 F(x)如下: 函数 F(x) 在 上下降， 或者: 故: F(x)不能成为某个连续型随机变量的分布函数. 例3 问: 即不满足性质(2). 解： 注意到: 能否成为某个连续型随机变量的分布函数. 即不满足性质(1). 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 解： 它是一个变上限的广义积分 (2) (1) X的分布函数 例4. (1) 求: 综合上述得: (2). 当 时 解: 求 : F(x) 设连续型随机变量 X 的密度函数为 f (x) 例5. 当 时, 当 即得所求的分布函数为: 当 时， 设随机变量X 的分布函数为： 求X取值在区间 (0.3,0.7)的概率； (2) 求X的概率密度. (1) P(0.3<X<0.7)= (2) f(x) = 例6. 解: 注意到F(x)在x=1处导数不存在，根据改变被积函数在个别点处的值不影响积分结果的性质，可以在 没意义的点处，任意规定 的值. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 三. 几种常见的连续型随机变量