4.2方差（课件）- 《概率论与数理统计 》同步教学（人民大学版·2018）

§4.2 方差 1 甲、乙两名射击手，现要挑选一名射击手参加比赛。若你是教练，你认为挑选哪一位比较适宜？ 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲命中环数 7 8 8 8 9 乙命中环数 10 6 10 6 8 两名射手的平均成绩； 均为8（环） 概率论与数理统计 1 谁的稳定性好？应以什么数据来衡量？ {(10-8)2+(6-8)2+(10-8)2+(6-8)2+(8-8)2}/4=16/4=4 {(7-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(9-8)2}/4= 甲射击成绩与平均成绩的偏差的平方和的平均值： 乙射击成绩与平均成绩的偏差的平方和的平均值： 2/4 概率论与数理统计 1 方差 定义 随机变量X的方差记为D(X),或Var(X),定义为 称之为随机变量X的均方差(标准差). 其中 存在. 1 4 方差D(X)是反映X取值分散程度的量,当X取值比较集中时,方差较小;当X取值比较分散时,方差较大. 由数学期望性质与方差定义可得: 这也是计算方差的常用公式. 概率论与数理统计 1 例 已知随机变量X的分布律如下, 求D(X）。 X ﹣2 ﹣1 0 1 2 Pk 1/16 2/16 3/16 2/16 8/16 解 数学期望E(X)=7/8 概率论与数理统计 1 例 设随机变量X具有(0, 1) 分布，其分布律为 求D(X) . 解: 由公式: 因此,0-1分布: 概率论与数理统计 1 例 解: X的分布律为: 概率论与数理统计 1 例 设X~ ,求 解 (1) =1 (2) =7/6 所以, =7/6-1=1/6 概率论与数理统计 1 例 解: 概率论与数理统计 1 例 设随机变量X服从指数分布,其概率密度为 解: 所以, 概率论与数理统计 1 例 设 X ~ N ( ,  2), 求 D( X ) 解 概率论与数理统计 1 方差的性质 (1) 设 C 是常数, 则有 (2) 设 X 是一个随机变量, 则有 (3) 设 X, Y 相互独立, D(X), D(Y) 存在, 则 D(X+Y)= D(X)+D(Y) 1 13 例 设X ~ b( n , p)，求D(X ). 故 概率论与数理统计 则: X= X1+X2+…+Xn 解 设 其中 且相互独立. 1 常见分布的期望方差: (5)均匀分布: (1)二点分布: (2)二项分布: (3)泊松分布: (4)正态分布: (6) 指数分布: 概率论与数理统计 1 例 设随机变量 相互独立，且 设 求 解 概率论与数理统计 1 例 设X1, X2, …, Xn相互独立，有共同的期望 和 方差 ， 则: 证明: 概率论与数理统计 1 概率论与数理统计 1 解： 解之得 例：已知随机变量X的密度函数为 又已知,求a,b,c. 概率论与数理统计 1 标准化随机变量 设随机变量 X 的期望E(X )、方差D(X )都存在, 且D(X )  0, 则称 为 X 的标准化随机变量. 显然， 概率论与数理统计 1 切比雪夫不等式 (Chebyshev’s Inequality) 由切比雪夫不等式可以看出，若 越小， 则事件{ |X-E(X)| < }的概率越大， 即随机变量X 集中在期望附近的可能性越大. 概率论与数理统计 1 例 已知正常男性成人血液中, 每一毫升白细胞数平均是7300, 均方差是700 . 利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率 . 解: 设每毫升白细胞数为X, 则: E(X)=7300, D(X)=7002 P(5200 X 9400) = P(-2100X-E(X)2100) = P{ |X-E(X)|2100} 由切比雪夫不等式: P{ |X-E(X)| 2100} 即每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率不小于8/9. 1 $$