3.1随机变量及其分布（课件）- 《概率论与数理统计 》同步教学（人民大学版·2018）

§3.1 二维随机变量及其分布 1 延迟符 例如 抽样调查15-18岁青少年的身高X与体重Y ，以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况。 飞机的重心在空中的位置是由三个随机变量 (三个坐标)（X，Y，Z）来确定的等等. 概率论与数理统计 1 2 概率论与数理统计 一般地, 设 是一个随机试验, 它的样本空间是 设 是定义在 上的随机变量, 由它们构成的一个 维向 量 叫做 维随机向量 或 维随机变 量. 以下重点讨论二维随机变量. 1 延迟符 二维随机变量的分布函数 定义 设(X, Y)是二维随机变量，对于任意实数 x, y，二元函数 称为二维随机变量(X, Y)的联合分布函数， 简称为（X, Y) 的分布函数. 1 4 分布函数的函数值的几何解释 将二维随机变量 看成是平面上随机点的坐标, 那么分布函数 在点 处的函数值就是随机点 落在下面图 所示的,以点 为顶点而 位于该点左下方的无穷矩形 域内的概率. 概率论与数理统计 1 (1) F(x,y)分别关于 x 和 y 单调不减. 概率论与数理统计 分布函数F(x，y)的性质 1 (3) F(x,y)关于x或y都是右连续的，即 概率论与数理统计 1 (4) 对任意的 有 证： x1 x2 y1 y2 概率论与数理统计 1 设二维随机变量 的分布函数为 ,则有 概率论与数理统计 1 延迟符 二维离散型随机变量 定义 若二维 随机变量(X,Y)的所有可能的取值是有限对或可列无限对不同值，则称(X,Y) 是二维离散型随机变量. 称 为(X,Y)的分布律，或X与Y的联合分布律. 1 10 二维离散型随机向量(X,Y)的分布律可用下列表格给出 X Y x1 x2 . . . xi . . . y1 y2 ... yj … p11 p21 . . . pi1 . . . p12 p22 . . . pi2 . . . … … … … … p1j p2j . . . pij . . . … … … … … 概率论与数理统计 1 二维离散型随机变量 的分布律具有性质 概率论与数理统计 1 例　把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数 ，而 Y 为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值 , 求 (X ,Y) 的分布律 . 解 X 可取值 0, 1, 2, 3， Y 可取值 1, 3 概率论与数理统计 1 1 X -1 0 1 Y 0 1 2 0.05 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1 a 0.2 0.05 求: (1)常数a的取值; (2) P{X≥0,Y≤1}; (3) P{X≤1,Y≤1}. 例 (X ,Y) 的分布律为 解 (1)由∑pij=1得: a=0.1 概率论与数理统计 1 (2) P{X≥0,Y≤1} =P{X=0,Y=0}+ P{X=0,Y=1} +P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=1} =0.1+0.2+0.1+0.2=0.6 (3) P{X≤1,Y≤1} +P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=1} =0.75 =P{X= -1,Y=0}+P{X= -1,Y=1}+P{X=0,Y=0} X -1 0 1 Y 0 1 2 0.05 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1 a 0.2 0.05 概率论与数理统计 1 二维连续型随机变量 定义 设二维随机变量 的联合分布函数为 ，若存在非负可积函数 ，使得对于任意实数 ，都有 则称(X,Y)为二维连续型随机变量，函数f (x,y)称为(X,Y) 的概率密度或X与Y联合概率密度. 1 17 (X,Y)的概率密度f (x,y)的性质： （1）非负性 （2）归一性 （3）当f (x,y)连续时， 概率论与数理统计 1 （4）若D是Oxy平面上的任一区域，则随机点(X,Y)落在D内的概