1.5事件的独立性（课件）- 《概率论与数理统计（第3版）》同步教学（机工版）

第一章知识结构图 基本概念与运算 ( 随机试验,事件,样本空间 ) 频率与概率 统计定义 古典定义 公理化定义 条件概率 全概率公式与贝叶斯公式 独立性 显然 : P( A | B ) =P ( A) 这就是说，已知事件B发生，并不影响事件A 发生 引例1. 将一颗均匀骰子连掷两次， A={第二次掷出6点}， B={第一次掷出6点}， 设: 第五节 事件的独立性 由乘法公式, P(AB)=P(B)P(A|B) 当事件A、B 独立时，有：P( AB ) = P( A ) P( B ) 可知： 用 P(AB) =P(A) P(B)刻划独立性，比用 P(A|B)= P(A) 或 P(B|A)= P(B) 更好，它不受P(B) > 0 或 P(A)> 0 的制约。 这时称事件A、B独立。 的概率， 现有五个乒乓球，三个新的，两个旧的，现 每 次取一个，取两次，分别就不放回抽取与 放回抽取 两种情况。 设：A：第一次取到新球 B：第二次取到新球 (1) 不放回地取两次 引例2 解： 求：在第一次取到新球的条件下第二次取到新球 的概率。 (2) 有放回地取两次 设 A, B是两个事件，如果具有等式： 则称 A, B 为 相互独立 的事件。 由定义易证以下关于独立性的命题: 定义1． 注 若 A与 B 相互独立 [证]:（只证 其余自证） 由可减性与独立性 所以： ▲ 与 与 与 也相互独立。 ▲ 若 与A, B互不相容 不能同时成立。 相互独立 设 A, B, C 三个事件, 如果具有 如下等式： 则称 A , B , C 两两独立。 若A , B , C 两两独立， 不一定成立。 定义2 (两两独立) 满足什么条件上式才能成立？ 问题： 三个事件的“相互独立”的概念 注 设 A, B, C 是三个事件，如果具有等式： 则称事件 A, B, C 为相互独立的事件。 设 是 n 个事件, 任意 定义 3． ▲ 注 推广： 如果对于任意 则称 为相互独立的事件。 ▲ 相互独立与两两独立的关系： n 个事件 任何两个 彼此独立． 相互独立 两两独立, 反之则不真 具有等式： n 个事件 任意 k个 都是独立的. （它含有 个等式） 两两独立 相互独立 ▲ n 个独立事件和 的概率公式: 设事件 相互独立,则 也就是说，n 个独立事件至少有一个发生的概率等于1 减去各自对立事件概率的乘积. 也相互独立 也相互独立 由 对 偶 律 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 则“ 至少有一个发生”的概率为： 发生的概率 若设 n 个独立事件 分别为: 类似可以得出： 至少有一个不发生”的概率为： “ ▲ 可见, P(AB)=P(A)P(B) 由于: P(A) = 4/52 = 1/13, 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记 : 问：事件A、B是否相互独立？ 解： 所以：P(AB) = 2/52 = 1/26 ， P(B) = 26/52 = 1/2 设 A, B是两事件, 且P(A)>0, 若 A, B相互独立 则： ，反之亦然。 注： 在实际应用中, 往往根据问题的 实际意义去判断两事件是否独立. 根据两事件独立的定义,说明事件A、B是相互独立的 定理： 例如： A = { 抽到 K }, B = { 抽到的牌是黑色的 } 即: 若A、B 互斥，且 P(A)>0, P(B)>0, 则 A 与 B 不独立. 而已知 P(A) ≠0， P(B) ≠0 故 A、B不独立 (1) 因为： P(AB) =0 P(AB) ≠ P(A)P(B) 即： （1）如图的两个事件是独立的吗？ （2）能否在样本空间 S 中找两个事件,它们 既相互独立又互斥? 它的反问题 呢？ 例1 解： S （2）所要寻找的这两个事件就是 S 和 注 意: 不难发现，