1.4条件概率、全概率公式、贝叶斯公式（课件）- 《概率论与数理统计 》同步教学（人民大学版·2018）

§1.4 条件概率、全概率公式、贝叶斯公式 1 1 概率论与数理统计 3 2 甲中奖 3 1 乙中奖 一、条件概率 1. 引例 ‹#› 2 概率论与数理统计 2. 条件概率的定义 设A，B为一个随机试验E的两个事件，若P(A)>0，定义 为事件A发生的条件下，事件B 发生的条件概率。 条件事件 理解为：已知A发生（ A发生后），推断B发生的概率。 ‹#› 3 概率论与数理统计 3 2 引例再回首 ‹#› 4 概率论与数理统计 例1 某库房某种产品由甲乙丙三个厂家提供，已知甲厂的次品 率为2%，乙厂的次品率为1%，丙厂的次品率为2.5%，现 从库房随意挑选一件产品，用 分别表示此产品来 自甲、乙、丙三个厂家，B表示此产品为次品，试求： ？ 注1 本例中的两个事件有逻辑上的“从属关系”，是条件概率， 注意将其与积事件相区别。 ‹#› 5 概率论与数理统计 例2 袋中有5个红球，2个黑球，从中不放回地取两次，一次一个， 已知第一次取到红球，求第二次取到红球的概率？ 解： 法一：公式法 设A表示第一次取到红球，B表示第二次取到红球， 法二：直接法（考虑A发生带来的影响） A发生后 注2 本例中的两个事件有时间上的先后关系，属于条件概率。 ‹#› 6 概率论与数理统计 条件概率的定义 条件概率的计算 公式法 直接法(考虑A发生带来的影响) 乘法公式 ‹#› 7 概率论与数理统计 推广： 二、乘法公式 ‹#› 8 概率论与数理统计 例3 10个题中有4个是难题,甲乙丙依次不放回地抽一题, 求下列事件的概率: (1)甲抽到难题 (2)甲乙抽到难题 (3)甲乙丙都抽到难题 (4)甲抽到难题,乙未抽到难题 解: 4难6易 难 3难6易 难 ‹#› 9 概率论与数理统计 4难6易 难 3难6易 难 2难6易 难 ‹#› 概率论与数理统计 例4 盒中有1红1白2个球,每次取一个,若为红球,则放回并放入一个红球,若为白球,则结束,求下列事件的概率: (1)4次全为红球 (2)第4次取到白球 解: 1红1白 红 红 3红1白 红 2红1白 4红1白 红 ‹#› 11 概率论与数理统计 例5 盒中有1红1白2个球,每次取一个,若为红,则放回并 放入一个红,若为白,则结束,求下列事件的概率: (1)4次全为红球 (2)第4次取到白球 白 1红1白 红 红 3红1白 红 2红1白 4红1白 ‹#› 12 三、全概率公式 概率论与数理统计 方式一：围在一起同时抓取 方式二：排队依次抓取 1.引例---抓阄是否公平? 1 概率论与数理统计 五个阄,其中两个阄有奖,三个阄无奖,甲乙丙丁戊五人依次抓取,问：这种抓阄方式是否公平？ 引例---抓阄是否公平? 即中奖概率是否相同? ‹#› 14 概率论与数理统计 依次类推,概率一样,抓阄与次序无关. 2有3无 甲中 甲不中 1有3无 2有2无 乙中 乙中 ？ ？ ‹#› 15 概率论与数理统计 2. 样本空间的划分/完备事件组 定义 ‹#› 16 概率论与数理统计 3. 全概率公式 定理（全概率公式） “全盘考虑，汇总求和” 乘法公式 ‹#› 17 概率论与数理统计 例6 ‹#› 18 概率论与数理统计 由全概率公式得 解 ‹#› 19 列1 1 2 3 0.15 0.8 0.05 概率论与数理统计 例7 有两箱同种类的零件,第一箱装50个,其中一等品10个;第二箱装30个,其中一等品18个。今从两箱中任挑出一箱,然后从该箱中任取一个零件,求取到的是一等品的概率。 解： 则由全概率公式可知： 50 10 30 18 ‹#› 20 概率论与数理统计 ---贝叶斯公式 乘法公式 全概率公式 定理(贝叶斯公式) 四、贝叶斯公式 ‹#› 21 概率论与数理统计 例8 ‹#› 22 概率论与数理统计 解 (2) 由贝叶斯公式得 ‹#› 23 列1 1 2 3 0.15 0.8 0.05 概率论与数理统计 解： 例9 ‹#› 24 概率论与数理统计 上题中概率 0.95 是由以往的数据分析得到的,叫做先验概率. 而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97 叫做后验概率. 先验概率与后验概率 ‹#› 25 概率论与数理统计 解 例11 由贝叶斯公式得 ‹#› 26 $$