1.2随机事件的概率（课件）- 《概率论与数理统计（第3版）》同步教学（机工版）

第一章知识结构图 基本概念与运算 ( 随机试验,事件,样本空间 ) 频率与概率 统计定义 古典定义 公理化定义 条件概率 全概率公式与贝叶斯公式 独立性 一 . 频 率 2. 频率的性质： (非负性) (规范性) 1．频率的定义： 第二节 随机事件的概率 在 n 次试验中，事件A 发生的次数 称为事 而比值 称为事件A发生的频率. 记作： 件A 的频数； 3．频率的稳定性 在不变的条件下,重复进行 n 次试验,事件A 发生的频率 稳定地在某一常数 p 附近摆动， 概率统计定义 （ 可加性 ） 则称常数 p 为事件A 在该条件下发生的概率 频率的稳定值为该事件的概率 是两两互不相容的事件，则： 记作：P(A) 并且 n 越大，摆动幅度越小。 试验 序号 1 2 3 4 5 6 7 2 3 1 5 1 2 4 22 25 21 25 24 18 27 251 249 256 247 251 262 258 0.4 0.6 0.2 1.0 0.2 0.4 0.8 0.44 0.50 0.42 0.48 0.36 0.54 0.502 0.498 0.512 0.494 0.524 0.516 0.50 0.502 实例1 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各 做 7 遍, 观察正面出现的次数及频率. 波动最小 随n的增大, 频率 f 呈现出稳定性 从上述数据可得: (2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅 度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性. (1) 频率有随机波动性 即对于同样的 n, 所得的 f 不一定相同. 请看下列概率大师们所做的实验 即当 n 逐渐增大时频率 f 总是在 0.5 附近摆动, 且逐渐稳定于 0.5. 实验者 德 摩根 蒲 丰 2048 1061 0.5181 4040 2048 0.5069 12000 6019 0.5016 24000 12012 0.5005 频率当 n 较小时波动幅度比较大,当 n 逐渐增大时, 频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可能性的大小．它就是事件的概率． 验证频率稳定性的著名实验 高尔顿(Galton)板试验. 试验模型如下所示: 　自上端放入一小球, 任其自由 下落, 在下落过程中当小球碰到 钉子时, 从左边落下与从右边落 下的机会相等. 碰到下一排钉子 时又是如此. 最后落入底板中的 某一格子. 因此, 任意放入一球, 则此球落入哪一个格子, 预先难以确定. 但是如果放入大量小球, 则其最后所呈现的曲线, 几乎总是一样的. 实例2 即: 通过规定概率应具备的基本 性质来定义概率. 下面介绍用公理给出的概率定义. 1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义. 柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简 单，但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦. 二．概率 设 E是随机试验, S是它的样本空间, 若对于S 的每一个事件 A 都赋予一个实数 P (A), (１) 对于每一事件A有: ( 2 ) ( 3 ) 可列可加性： 公理化定义 则称 p (A) 为事件 A 发生的概率。 非负性 规范性 １. 概率的定义： 若 是两两互不相容的事件，则： 它满足以下三个条件： ２．概率的性质 必然事件 S 与不可能事件 是互不相容的 可 加 性 得： 若 是两两互不 相容事件, 则有: [证]： 性质1 性质2 (有限可加性) 由概率定义中的可列可加性. 性质3 ： (可减性) (单调性) [证]： ，则有： 令： 若 则有： [证]：(1) 由性质 2 得： (2) 由概率定义可知： 所以由(1)得: A B A 即 即： 并且 是互不相容的 有限可加性 可减性 设 A, B为任意两个事件, 则有： [证]: 并且: 所以由性质 2与性质 3 得：