7 参数估计（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（电工版·2020）

概率论与数量统计 参数估计 第七章 01 参数点估计 参数点估计 01 矩估计法 如果总体X的矩存在，那么当总体的分布已知时，可以求出X的矩。通常总体的矩和它的分布中的未知参数有关，甚至有时未知参数就是总体的矩。 一般来说，总体的各阶矩都是总体分布未知参数的函数。另外，当总体矩存在时，样本矩是总体矩较好的近似。因此，估计未知参数，一种自然的做法是用样本原点矩代替总体原点矩,将未知参数与总体原点矩之间的函数关系转化为样本原点矩与未知参数之间的方程，未知参数是方程中的未知量。解这个方程，将未知量表示为样本的一个函数，以之作为未知参数的点估计量。这种方法称为求点估计量的矩法(method ofmoment)，相应得到的估计量称为矩估计量(moment estimator)。 参数点估计 01 矩估计法 【例1】设总体X的分布密度函数是 求参数的矩估计量。 解：计算X的数学期望，有 令 解得 则可得参数的矩估计量为 参数点估计 01 矩估计法 【例2】设总体X的分布列为 参数满足0<<试求参数的矩估计量。 参数点估计 01 矩估计法 【例3】设总体X的分布密度函数为 其中均为未知参数，求和的矩估计量。 参数点估计 01 矩估计法 参数点估计 01 矩估计法 参数点估计 01 矩估计法 【例4】设总体X的分布任意，其数学期望和方差存在，记=E(X)，D(X) ，为未知参数，求的矩估计量。 参数点估计 01 最大似估计法 最大似然估计法(method of maximum likelihood estimation)是由R.A.Fisher于1912年提出的求未知参数点估计值的一种方法，它的基本思想是选取作为未知参数的估计值，使得当=时，样本取到试验出现的样本值的概率最大。 定义7.1 满足条件 的数=()称为参数的最大似然估计值(maximum likelihood estimate)，将分别换为，得到得统计量 称为得最大似然估计量(maximum likelihood estimator)。 参数点估计 01 最大似估计法 【例5】某工厂生产了一批产品，在该批产品中随机地抽取100件，检验发现有92件是正品，8件是次品，试估计这批产品的次品率。 参数点估计 01 最大似估计法 【例6】设总体X~ E(λ)，求参数λ的最大似然估计量。 参数点估计 01 最大似估计法 【例7】设总体X服从0-1分布，p =P{X =1}为未知参数，试求参数p的最大似然估计量。 参数点估计 01 最大似估计法 参数点估计 01 最大似估计法 【例7】设总体X服从参数为λ的泊松分布，求参数λ的最大似然估计量。 参数点估计 01 最大似估计法 参数点估计 01 最大似估计法 【例8】设总体X ~N()，其中参数和未知，求和的最大似然估计量。 参数点估计 01 最大似估计法 【例9】设总体服从区间[0,]上的均分布，是未知参数，()是取自X的样本，()是样本值，求参数的最大似然估计量。 解：X的分布密度函数为 故的似然函数为 L()为参数的单调递减函数，故在取值区间的左端点上达到最大值，于是的最大似然估计值为 而的最大似然估计量为 记，通常称为最大顺序统计量。 参数点估计 01 最大似估计法 【例10】设总体X服从例7.1.2中的分布列，是未知参数。现从总体中随机抽出一个样本，样本值为( -1,0,-1,0,0,2,-1)，求参数的最大似然估计值。 参数点估计 01 最大似估计法 【例10】为估计湖中鱼的数量，自湖中同时捕出r条鱼，做上记号后放回湖中，然后由湖中捕出s条鱼，结果发现有x条有记号，试根据此信息估计湖中鱼的数量。 参数点估计 01 最大似估计法 【例10】为估计湖中鱼的数量，自湖中同时捕出r条鱼，做上记号后放回湖中，然后由湖中捕出s条鱼，结果发现有x条有记号，试根据此信息估计湖中鱼的数量。 参数点估计 01 估计量优良性的评选准则 1.无偏性 定义7.2 若参数的估计量=()满足 则称为的无偏估计量(unbiased estimator)，的这种性质称为无偏性(unbiasedness)。 参数点估计 01 【例11】设总体X的二阶原点矩存在，记=E(X)，= D(X)。证明和=分别是和的无偏估计量。 估计量优良性的评选准则 参数点估计 01 估计量优良性的评选准则 2.有效性 定义7.3 设和是未知参数的两个无偏估计量，如果其方差都存在，且 那么称比有效。估计量这种可以比较的性质称为有效性。 参数点估计 01 【例12】设()是取自总体X的样本，=E(X)，D(X)，证明在的形如 的估计量中，最有效。 估计量优良性的评选准则 参数点估计 01 估计量优良性的评选准则 3.一致性 定义7.4 设是参数的估计量，若依概率收敛于，即对