8 假设检验（课件）- 《概率论与数理统计》同步教学（电工版·2020）

概率论与数量统计 假设检验 第八章 01 假设检验的基本概念 假设检验的基本概念 01 假设检验的思想和方法 【例1】某箱子中有红球及白球共100个.已知两种球所占的比例为99:1，但不知是红球个数为99还是白球个数为99，现允许抽一球来进行判断．若抽到红球，则我们更倾向于认为是红球为99个．判断理由如下．以H来表示假设“其中有99个白球”，而以旺来表示与之相反的假设“其中有99个红球”。若成立，则事件“从箱子中抽一球抽到红球”的概率为0.01（该事件即可认为是小概率事件)。从中抽一球，发现为红球（这是试验结果表明的)，即小概率事件在一次试验中发生了，这与小概率事件原理不相吻合，所以认为不成立更加合理，即认为箱子中有99个红球。显然，利用这种方法做判断是会犯错误的，但有99%的把握判断正确。 这一例子的解决已经在某种程度上体现了假设检验的思想。下面以一个更复杂的例子来说明假设检验问题的一般思想和基本方法。 假设检验的基本概念 01 假设检验的思想和方法 【例2】某工厂生产的某种螺栓，在正常生产的情况下其长度X（单位：mm）服从正态分布N(54,0.45)，为了知道检修后机器生产是否正常，现任取5只螺栓，测得其长度如下： 53.2，54.1，52.6，54.2，52.1. 设已知总体X的方差没有改变，依据上述数据，判断机器生产是否正常。 解：如果机器生产正常，那么生产的螺栓的平均长度应为54，故取检验假设为 称为原假设或零假设(null hypothesis)。当不成立时，则接受假设 称为对立假设或备择假设(alternative hypothesis)。对于和，检验的结果是接受且只能接受其中的一个。 假设检验的基本概念 01 假设检验的思想和方法 如何检验原假设是否成立呢？考虑样本均值是总体均值的一个比较好的估计量(具有无偏性、一致性等)，所以可以利用来进行讨论。当成立时，的观察值应在的附近，否则就不能认为成立。 如何判断是否接近呢？为了定量地讨论问题，指定一个小概率，称为显著性水平（significance level)。对概率α，确定一个数k，使当成立时， 事件是一个小概率事件．将样本均值的观察值代入式（8.1)，若有 则说明事件A在一次试验中发生了。若成立，则与小概率事件原理不吻合，故更有理由怀疑的正确性，从而可以做出拒绝的判断。而若 则没有充分的理由怀疑的正确性，只好做出接受的决定（这一点与反证法不同)。 假设检验的基本概念 01 假设检验的思想和方法 由上所述，判断是否接近，可以以式（8.2）是否满足为标准，为确定常数k。注意到总体服从正态分布，因此如果成立，那么 故对于给定的显著性水平，有 于是 根据上面的讨论，设统计量的观察值为 假设检验的基本概念 01 假设检验的思想和方法 则当 时（此时事件A发生），拒绝；当 时，没有充分的理由拒绝，从而接受。相应地，称式（8.3）中的区域为关于统计量U的拒绝域(rejection region)，称式（8.4）中的区域为关于统计量U的接受域(acceptance region)，和分别称为临界下限(lower critical bound)和临界上限(upper critical bound)。 假设检验的基本概念 01 假设检验的思想和方法 在本例中，根据给定的数据可计算，又，若取显著性水平，则。故 即u位于拒绝域内，从而拒绝。即认为机器检修后生产不正常。 假设检验的基本概念 01 假设检验的思想和方法 （1）假设检验依赖的原理是小概率事件原理：构造一个在H为真的条件下概率很小的事件A，依小概率事件原理，在一次抽样中，A是不应该发生的。如果抽样的结果中竟然出现了事件A，那么对“事件A的概率很小”这一论断会产生怀疑，由此便怀疑到“为真”这一假设的正确性．假设检验的方法类似于数学推理中的反证法，由于样本只是庞大总体中的一小部分个体，只能携带有限的信息，相当于数学中举出的一个反例，根据它做出对肯定的结论依据是不足的，但是否定，有这一个“反例”就足够了。这也是在假设检验问题中，给出的判断依据常常是拒绝域的缘故。虽然从判断方法上看，利用拒绝域和接受域并无不同，但从逻辑结构来看，二者是不对称的。 假设检验的基本概念 01 假设检验的思想和方法 （2）检验的方法，可以利用式(8.3)，按例8.1.2的方法判断，称之为U临界值法。注意到 故也称区间 为关于样本均值的拒绝域。当样本均值的观察值落入拒绝域时，拒绝这种方法称为临界值法. 假设检验的基本概念 01 假设检验的思想和方法 又依式(8.5)，有 上式右端为总体均值的置信水平为1-α的置信区间，因此也可以根据待验参数值是否位于的置信区间内来判断是接受还是拒绝，这种方法称为置信区间法。 假设检验的基本概念 01 双侧检验与单侧检验